随机过程(二)随机过程(二).docx

泊松过程（Possion Process）定义3.1如果对任何，，随机变量相互独立，则称为独立增量过程。如果对任何，有，则称为平稳增量过程。兼有独立增量和平稳增量过程称为平稳独立增量过程。平稳独立增量过程主要有随机游动泊松过程布朗运动Cauchy过程稳定过程（Stable Process）本章主要内容泊松过程的定义与泊松过程有关时刻的分布泊松过程的推广非齐次泊松过程复合泊松过程条件泊松过程更新过程排队论*一、泊松过程的定义定义3.2 随机过程称为计数过程，如果N(t)表示从时刻0到t时刻内某一事件A发生的次数，它具备以下两个特点：且取值为整数；st时，且表示时间内事件A发生的次数。定义3.3 计数过程称为参数为的泊松过程，如果过程有独立增量；对任意，称为泊松过程的强度或速率，表示单位时间内发生事件的平均次数。常见的泊松过程火车站售票数保险公司的索赔数到达电话总机的呼叫数目例：设从早上8：00开始，某火车站售票处开始连续售票，乘客以10人/小时的平均速率达到，请问：（1）从9：00到10：00这一个小时内最多有5名乘客来此购票的概率是多少。（2）假设每位乘客平均购买1张车票，从8：00到12：00，此售票处平均售出多少张车票。解：我们用一个泊松过程来描述购票的乘客数。设8：00为0时刻，则9：00为1时刻，参数。（1）从9：00到10：00这一个小时内最多有5名乘客来此购票的概率（2）从8：00到12：00购票的乘客数为，均值等于泊松过程的分布性质（1）（2）（3）证明：（1）由泊松分布的性质知，（1）显然成立。（2）由泊松过程的平稳增量性知（3）由泊松过程的平稳增量性知注：性质（2）和（3）也可作为泊松过程的等价定义。定义3.3’计数过程称为参数为的泊松过程，如果；过程有平稳独立增量；存在，当时，；当时，。直观解释：将[0, t]划分为n个相等的时间区间，由条件（4）可知，当时，在每个区间内事件发生2次或2次以上的概率趋于0，因此事件发生一次的概率，事件不发生的概率，这恰好是一次贝努利试验，其中事件发生一次即为试验成功。再由平稳独立增量性，N(t)就相当于n次贝努利试验成功的次数，成功概率。由泊松分布的二项分布逼近可知N(t)服从参数为的泊松分布。严格证明参见张波《应用随机过程》P35－36。或劳斯《随机过程》P36-37二、有关时刻的分布是第n次事件发生的时刻，是第n次与第n－1次事件发生的时间间隔。1、事件发生时间间隔的分布定理3.1服从参数为的指数分布，且相互独立。证明：首先考虑X1的分布，注意到事件等价于，即内没有事件发生。因此从而因此，X1服从参数为的指数分布。再看X2，由泊松过程的独立增量性知因此，X1与X2相互独立，且服从参数为的指数分布。重复同样的推导，可得定理结论。2、事件发生时刻的分布定理3.2 服从参数为n和的gamma分布，即证明：由于第n次事件发生在时刻t或之前相当于到时刻t已经发生事件的数目至少是n，因此对上式两端对t求导可得Tn的密度函数注：定理3.2可作为泊松过程的另一等价定义。定义3.3’’计数过程称为参数为的泊松过程，如果每次事件发生的时间间隔相互独立同分布，且服参数为的指数分布。例：设从早上8：00开始由无穷个人排队等候服务，只有一名服务员，且每个人接受服务的时间是独立的并且服从均值为20min的指数分布，则到中午12：00为止平均有多少人已经离去，已有9人接受服务的概率是多少。解：设N(t)表示从时刻0（8：00）到t时刻接受服务的人数，则N(t)服从参数为3的泊松过程。（1）（2）（3）3、事件发生时刻的条件分布问题：已知事件A已经发生了n次，求n次事件发生的时刻的联合分布。（1）n=1时的情形证明：由于事件的直观含义是A发生在时刻s之前，在内A没有发生，因此即在已知t时刻事件A发生了一次条件下，发生时刻T1服从[0,t]上的均匀分布。（2）n≥2时的情形预备知识：顺序统计量设是n个随机变量，如果是中的第k个最小值，，则称是对应于的顺序统计量。称为的最小值，称为的最大值。若是独立同分布的连续随机变量，具有概率密度f，则顺序统计量的联合密度为这是因为（1）等于，意味着等于的n！个排列中的任意一个排列。（2）当是的一个排列时，等于的概率密度是例：服从均匀分布，则的联合密度为定理3.3 在已知的条件下，事件发生的n个时刻的联合分布与[0,t]区间上服从均匀分布的n个独立随机变量的顺序统计量的分布相同，即证明：设。取充分小，使得，因此，给定时，的n维条件分布密度函数例假设一部仪器承受到冲击，冲击遵循参数为的泊松过程来到。第i次冲击造成的损失为Di。假定Di，i≥1独立同分布且与独立，表示(0,t]中的冲击次数。假定冲击引起的损伤随时间而指数的递减，即若一个冲击造成的初始损伤为D，时间t之后它造