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随机过程复习 一、回答： 什么是宽平稳随机过程？ 平稳随机过程自相关函数与功率谱的关系？ 窄带随机过程的相位服从什么分布？包络服从什么分布？ 什么是白噪声？性质？ 二、计算： 1、随机过程+，其中是常数，A、B是相互独立统计的高斯变量，并且E[A]=E[B]=0，E[]=E[]=。求：的数学期望和自相关函数？ 2、判断随机过程是否平稳？其中是常数，A、分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。 ； 3、求随机相位正弦函数的功率谱密度，其中A、是常数，为[0,2]内均匀分布的随机变量。 4、求用自相关函数及功率谱表示的的自相关函数及谱密度。其中，为[0,2]内均匀分布的随机变量，是与相互独立的随机过程。 5、设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。 6、 设随机过程，，为常数，服从区间上的均匀分布。 （1）求的一维概率密度和一维分布函数； （2）求的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1），则为密度函数； （2）为上的均匀分布，概率密度函数，分布函数 ，，； （3）参数为的指数分布，概率密度函数，分布函数 ，，； （4）的正态分布，概率密度函数，分布函数，若时，其为标准正态分布。 【解答】 （1）因为上的均匀分布，为常数，故亦为均匀分布。由的取值范围可知，为上的均匀分布，因此其一维概率密度，一维分布函数； （2）根据相关定义，均值函数； 相关函数； 协方差函数（当时为方差函数） 7．设随机过程X是标准正态分布的随机变量。试求数学期望，方差，相关函数，协方差。 解：因为，（1） 所以 （2） （2） （2） （2） 8、有随机过程{( (t)，-(t (}和{( (t)，-(t(}，设( (t)=A sin(( t+()，( (t)=B sin(( t+(+(), 其中A，B，(，(为实常数，(均匀分布于[0，2(]，试求R( ((s,t) 1.解： 9、随机过程( (t)=Acos((t+( )，-(t +(，其中A, (,( 是相互统计独立的随机变量，EA=2, DA=4, ( 是在[-5, 5]上均匀分布的随机变量，( 是在[-(，(]上均匀分布的随机变量。 试分析((t)的平稳性和各态历经性。 2、解： 所以具有平稳性。 故均值具有各态历经性。 故相关函数不具有各态历经性。 分析求证 1、已知随机过程，为[0,2]内均匀分布的随机变量，A可能是常数、时间函数或随机变量。A满足什么条件时，是各态历经过程？ 2、某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9：00开门，试求： （1）在开门半小时中，无顾客到来的概率； （2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。 3、解：设顾客到来过程为{N(t), t=0}，依题意N(t)是参数为(的Poisson过程。 （1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为： （2）在开门半小时中无顾客到来可表示为，在未来半小时仍无顾客到来可表示为，从而所求概率为： 3、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。 试求到某时刻时到达商场的总人数的分布； 在已知时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？ 解：设分别为（0,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。 由已知，为强度的泊松过程，为强度的泊松过程； 故，为强度的泊松过程；于是， （5分） （2） （5分） 一般地， 故平均有女性顾客 人