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随机过程课后习题随机过程课后习题
习题一
设随机变量X服从几何分布,即:。求X的特征函数、EX及DX。其中是已知参数。
(1)求参数为(p,b)的分布的特征函数,其概率密度函数为
(2)求其期望和方差;
(3)证明对具有相同的参数b的分布,关于参数p具有可加性。
3.设X是一随机变量,F(x)是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。
(1);
(2),并求(k为自然数)。
4.设相互独立,具有相同的几何分布,试求 的分布。
5.试证函数 为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。
6.试证函数 为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。
7.设相互独立同服从正态分布,试求n维随机向量的分布,并求出其均值向量和协方差矩阵,再求 的概率密度函数。
8.设X、Y相互独立,且(1)分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布;(2)分别服从参数为的分布。求X+Y的分布。
9.已知随机向量(X, Y)的概率密度函数为
试求其特征函数。
10.已知四维随机向量服从正态分布,均值向量为0,协方差矩阵为,求。
11.设X1,X2 和X3相互独立,且都服从,试求随机变量和组成的随机向量(Y1, Y2)的特征函数。
12.设X1,X2 和X3相互独立,且都服从,试求:
(1)随机向量(X1, X2, X3)的特征函数;
(2)设,求随机向量(S1, S2, S3)的特征函数;
(3)和组成的随机向量(Y1, Y2)的特征函数。
13.设(X1, X2, X3)服从三维正太分布,其中协方差矩阵为,且。试求。
14.设相互独立同服从正态分布。试求 的期望。
15.设X、Y是相互独立同分布的随机变量,讨论和 的独立性。
16.设X、Y是相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量,讨论和 的独立性。
17.设二维随机变量的概率密度函数分别如下,试求。
(1)
(2)
18.设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量,X服从区间[0, 1]上的均匀分布,Y服从参数为的指数分布。求(1)X与X+Y的联合概率密度函数;(2)D(X|Y=y)。
19.设Xn,n=1,±1,±2,…是一列随机变量,且 ,其中K是正常数。试求:
(1)当K1时,Xn几乎肯定收敛于0;
(2)当K2时,Xn均方收敛于0;
(3)当K3时,Xn不均方收敛于0。
20.设,试证明。
习题二
1.设X(i = 1, 2, 3,…)是独立随机变量列,且有相同的两点分布 ,令
, ,试求:
(1)随机过程{Y(n), n = 0, 1, 2, …}的一个样本函数;
(2)P[Y(1)=k]及P[Y(2)=k]之值;
(3)P[Y(n)=k];
(4)均值函数;
(5)协方差函数。
2.设,其中A、B是相互独立且有相同的分布的随机变量,是常数,,试求:
(1)X(t)的一个样本函数;
(2)X(t)的一维概率密度函数;
(3)均值函数和协方差函数。
3.设随机过程 。其中,
是相互独立的随机变量,且。
(1)求{X(t)}的均值函数和相关函数;
(2)证明{ X(t)}是正太过程。
4.设是参数的Wiener过程,求下列过程的均值函数和相关函数:
(1); (2) ;
(3); (4)。
5.设到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流,每个顾客购买商品的概率为p,且与其他顾客是否购买商品无关,若是购买商品的顾客流,证明是强度为的Poisson流。
6.在题5中,进一步设是不购买商品的顾客流,试证明与是强度分别为和的相互独立的Poisson流。
7.设和分别是强度为和的独立Poisson流。试证明:
(1)是强度为的Poisson流;
(2)在的任一到达时间间隔内,恰有k个时间发生的概率为
8.设是Poisson过程,和分别是的第n个时间的到达时间和点间距距离。试证明:
(1);
(2)。
9.设某电报局接收的电报数组成Poisson流,平均每小时接到3次电报,求:
(1)一上午(8点到12点)没有接到电报的概率;
(2)下午第一个电报的到达时间的分布。
10.设和分别是强度为和的独立Poisson过程,令,求的均值函数与相关函数。
11.设是强度为的Poisson过程,T是服从参数为的指数分布的随即变量,且与{}独立,求[0,T]内事件数N的分布律。
习题三
证明Poisson随机变量
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