[吉大双曲线及其标准方程学生.doc

§2.3.1　双曲线及标准方程 一、教学目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 1．一个有趣的实验：上，把笔尖放在点处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线. 　　　 2．定义：平面内动点P与两个定点F1、F2距离之差的绝对值为常数|F1F2|)，则点P的轨迹叫．这两个定点叫双曲线的，两焦点间的距离叫①当|F1|－|F2|＝|F1F2|)，； ②当＝|F1F2|)，； ③当＝|F1F2|)，动点轨迹． 1．当且仅当的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，的方程是标准. 2．双曲线标准方程的推导过程 以经过两焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系. P()为双曲线上的任意一点，. 请同学们参照椭圆方程的推导过程完成双曲线的方程的推导： 思考：（1）如何根据双曲线的标准方程判断其焦点在哪个轴上； （2）a，b，c结合图形探究a，b，c的几何意义； （）满足a，b，c关系的直角三角形称为的“特征三角形”，图形 标准方程 焦点 （三）相关概念 顶　点：曲线的对称轴与曲线的交点叫做曲线的顶点因此有个顶点的对称轴有之分，叫做，叫做；的两顶点，作y轴的平行线，经过作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线就是双曲线的渐近线. 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图. 三、例题讲解 例1　基本量的运算：分别求符合下列条件的双曲线的标准方程. （1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在轴上；[来源:Z_xx_k.Com] （2）焦距是10，虚轴长是8，焦点在轴上； （3）焦点分别为(－20)，(20)，且经过点(23)； （），经过点（2，5），焦点在轴上的轨迹. （1）与内切，且过点； （2）与：和：都外切； 的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程. 想一想：在椭圆部分我们学过什么类似的结论. 例4　设点为双曲线C：一点，是它的两个焦点，且，证明：三角形的面积为. 四、随堂练习 动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是 双曲线双曲线的一支两条射线一条射线的一个焦点是，那么实数的值为 （B） （C） （D） 已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．若动圆M与：外切，且与⊙：内切，动圆的圆心的轨迹方程. 五、巩固提高 （一）选择题 双曲线的两焦点分别为，若，则 （A）5 （B）13 （C） （D） 设是双曲线的焦点，点P在双曲线上，且，则点P到轴的距离为 （A）1 （B） （C）2 （D） 已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是 （B） （C） （D）2 设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为 （A） （B） （C） （D） 若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 （A）[3－2，＋∞)（B）[3＋2，＋∞)（C）[－，＋∞)（D）[，＋∞) 设动点P到A(－50)的距离与它到B(50)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是． 与双曲线的焦点相同，则=　　　　. 经过点(－12)和(2，－5)的双曲线的方程是已知的底边BC长为12，底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹两地相距800m，在地听到爆炸声比在地晚2s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点的轨迹方程. 已知是双曲线上的任意一点，是焦点，分别以为直径作圆，证明它们必和“以双曲线实轴为直径的圆”相内切或外切. §2.3.2　双曲线的简单几何性质 一、教学目标 1.掌握双曲线的简单几何性质了解双曲线的渐近性及渐近线的概念到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 平面内，若动点到一个定点的距离与它到一条定直线（不经过点）距离的比是常数（大于1），则点的轨迹是双曲线.其中叫做双曲线的一个焦点，叫做双曲线的一条准线.可以证明，“常数”就是双曲线的离心率. 特别地，若定点，定直线：，则点的轨迹方程是－＝1 (a0b0). （二）双曲线的简单几何性质 标准方程 ＝1 (a0b0) －＝1 (a0b0) 图形 a，b，c的关系 性质 范围x≥a，或x≤－ay∈R y≥a，或y≤－ax∈R 顶点 对称轴和原点 轴A1A2的长为；B1B2的长为 离心率 e＝ 通径 半通径的长为 特别地：a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做 三、例题讲解 例1　 基本量运算. （1）若双曲线的一条渐近线方程