[名师高徒文科数学第9讲.doc

第九讲 抛物线 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 全国通用 本讲时长 分钟 知识点 1，抛物线的定义及标准方程 2，抛物线的简单几何性质 3，抛物线与直线的位置关系 教学目标 1，学会抛物线的定义及标准方程 2，掌握抛物线的几何性质 3，熟悉处理抛物线与直线位置关系的常见解题思路 教学重难点 1，抛物线定义及其离心率等 2，几何性质的灵活应用 3，抛物线与直线位置关系的处理方法 教学过程 一、知识讲解 知识点1 抛物线的定义 先看一个实验： 如图：点是定点，是不经过点F的定直线，是上任意一点，过点作，线段的垂直平分线交于点。拖动点，观察点的轨迹，你能发现点满足的几何条件吗？ 可以发现，点随着运动的过程中，始终有，即点与定点和定直线的距离相等。 （演示） 我们把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。 (对于“直线经过点F”的情况，我们留到习题课再讨论。) 知识点2 抛物线的标准方程 从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点满足到焦点F的距离与到准线的距离相等。那么动点的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？ 要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。 1 2 3 方案（一） 方案（二） 方案（三） 都满足方程，以方程的解为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程。 我们把方程叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是，准线方程是。 上面我们主要研究了抛物线开口向右的情况，那么如果它的开口方向是向左、向上或者向下，其对应的方程又如何了呢？ 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向 对表格的说明：统观四种情况 （1）表示焦点到准线的距离； （2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。若一次项是，则对称轴为轴，焦点在轴上；若一次项是，则对称轴为轴，焦点在轴上；（对称轴看一次项） （3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开口方向） 知识点3 抛物线的简单几何性质 我们先考虑的几何性质 1．范围 因为，由方程可知，这条抛物线上的点的坐标满足不等式，所以这条抛物线在轴的右侧；当的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性 以代，方程不变，所以这条抛物线关于轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是坐标原点． 4．离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 对于其它几种形式的方程，列表如下： 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离 知识点4 直线与抛物线的位置关系 （1）位置关系： 设直线，抛物线联立解得： 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若， 直线与抛物线相交，有两个交点； 直线与抛物线相切，有一个交点； 直线与抛物线相离，无交点； （2）相交弦长：直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线，圆锥曲线：，它们的交点为，， 且由，消去 得到，。 设，则弦长公式为：则 若联立消去得的一元二次方程： 设，则 考点/易错点1 的意义学生容易混淆，学生应该掌握表示焦点到准线的距离，所以。 考点/易错点2 抛物线上的点到焦点的距离，利用抛物线的定义，要优先考虑转化为抛物线上的点到准线的距离来解决问题。 考点/易错点3 直线与抛物线相交时，涉及到中点弦问题，注意优先考虑点差法。 考点/易错点4 直线与抛物线相交问题，注意考虑直线斜率是否存在。根据实际问题，注意直线的巧妙设法，这种设法常常可以避免斜率不存在的讨论以及简化计算。 二、例题精析 【例题1】 【题干】（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程。 焦点坐标为，准线方程为 方程为【解析】（1）因为，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为 （2）因为抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线方程为。 【】（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出的值得到焦点坐标和准线方程。 （2）先判定出焦点在轴上，从而得到一次项为，再求出的值进而写出方程。 【例题2】 【题干】已知点在抛