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[名师高徒文科数学第9讲
第九讲 抛物线 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 全国通用 本讲时长 分钟
知识点 1,抛物线的定义及标准方程
2,抛物线的简单几何性质
3,抛物线与直线的位置关系
教学目标 1,学会抛物线的定义及标准方程
2,掌握抛物线的几何性质
3,熟悉处理抛物线与直线位置关系的常见解题思路 教学重难点 1,抛物线定义及其离心率等
2,几何性质的灵活应用
3,抛物线与直线位置关系的处理方法 教学过程
一、知识讲解
知识点1 抛物线的定义
先看一个实验:
如图:点是定点,是不经过点F的定直线,是上任意一点,过点作,线段的垂直平分线交于点。拖动点,观察点的轨迹,你能发现点满足的几何条件吗?
可以发现,点随着运动的过程中,始终有,即点与定点和定直线的距离相等。
(演示)
我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线。
(对于“直线经过点F”的情况,我们留到习题课再讨论。)
知识点2 抛物线的标准方程
从抛物线的定义中我们知道,抛物线上的点满足到焦点F的距离与到准线的距离相等。那么动点的轨迹方程是什么,即抛物线的方程是什么呢?
要求抛物线的方程,必须先建立直角坐标系。
1 2 3 方案(一) 方案(二) 方案(三) 都满足方程,以方程的解为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等,即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程。
我们把方程叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点坐标是,准线方程是。
上面我们主要研究了抛物线开口向右的情况,那么如果它的开口方向是向左、向上或者向下,其对应的方程又如何了呢?
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 开口方向
对表格的说明:统观四种情况
(1)表示焦点到准线的距离;
(2)抛物线标准方程,左边为二次,右边为一次。若一次项是,则对称轴为轴,焦点在轴上;若一次项是,则对称轴为轴,焦点在轴上;(对称轴看一次项)
(3)标准方程中一次项前面的系数为正数,则开口方向坐标轴正方向;若一次项前面的系数为负数,则开口方向为坐标轴负方向;(符号决定开口方向)
知识点3 抛物线的简单几何性质
我们先考虑的几何性质
1.范围
因为,由方程可知,这条抛物线上的点的坐标满足不等式,所以这条抛物线在轴的右侧;当的值增大时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性
以代,方程不变,所以这条抛物线关于轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程中,当时,,因此抛物线的顶点就是坐标原点.
4.离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用表示.由抛物线的定义可知,.
对于其它几种形式的方程,列表如下:
标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 注意强调的几何意义:是焦点到准线的距离
知识点4 直线与抛物线的位置关系
(1)位置关系:
设直线,抛物线联立解得:
若,直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点;
若,
直线与抛物线相交,有两个交点;
直线与抛物线相切,有一个交点;
直线与抛物线相离,无交点;
(2)相交弦长:直线与圆锥曲线相交的弦长公式
设直线,圆锥曲线:,它们的交点为,,
且由,消去 得到,。
设,则弦长公式为:则
若联立消去得的一元二次方程:
设,则
考点/易错点1
的意义学生容易混淆,学生应该掌握表示焦点到准线的距离,所以。
考点/易错点2
抛物线上的点到焦点的距离,利用抛物线的定义,要优先考虑转化为抛物线上的点到准线的距离来解决问题。
考点/易错点3
直线与抛物线相交时,涉及到中点弦问题,注意优先考虑点差法。
考点/易错点4
直线与抛物线相交问题,注意考虑直线斜率是否存在。根据实际问题,注意直线的巧妙设法,这种设法常常可以避免斜率不存在的讨论以及简化计算。
二、例题精析
【例题1】
【题干】(1)已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程
(2)已知抛物线的焦点是,求它的标准方程。
焦点坐标为,准线方程为
方程为【解析】(1)因为,所以抛物线的焦点坐标为,准线方程为
(2)因为抛物线的焦点在y轴上,所以抛物线方程为。
【】(1)先看清一次项,判定对称轴与焦点所在位置,画草图,再求出的值得到焦点坐标和准线方程。
(2)先判定出焦点在轴上,从而得到一次项为,再求出的值进而写出方程。
【例题2】
【题干】已知点在抛
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