[向量代数.doc

目 录 课程介绍 1 第一章 向量代数 2 §1 向量及其线性运算 2 1.1 向量的概念 2 1.2 向量的加法 3 1.3 向量的数乘运算 5 1.4 共线(共面)的向量组 7 §2 仿射坐标系和直角坐标系 11 2.1 向量和点的仿射坐标、直角坐标 11 2.2 用坐标作向量的线性运算 13 2.3 用坐标刻画点或向量共线、共面的条件 14 2.4 线段的定比分点 14 附录 线性相关性与线性方程组 15 §3 向量的内积 18 3.1 射影和分量 18 3.2 内积的定义与性质 20 3.3 用坐标计算向量的内积，长度，夹角 21 3.4 方向角和方向余弦 22 §4 向量的外积 23 4.1 外积的定义 23 4.2 外积的几何意义，平面的定向 23 4.3 向量外积的运算规律 24 4.4 用坐标计算向量的外积 26 4.5 二 重 外 积 27 §5 向量的混合积 28 5.1 混合积的几何意义和性质 28 5.2 用坐标计算向量的混合积 29 5.3 三向量(四点)共面的条件 30 5.4 拉格朗日恒等式及其应用 31 *5.5 向量代数在球面三角中的应用(略) 31 本章知识体系 32 课程介绍 我们现在所学习的课程是空间解析几何，它是中学阶段所学的平面解析几何课程的延续.同时又是大学阶段各门后续课程的基础. 解析几何在数学分析中有重要应用，特别是在多元函数微积分中. 解析几何也为高等代数中高维向量空间的学习提供了现实模型. 解析几何还是大三学习微分几何课程的基础. (金融方向没有) 本课程与现实世界的联系密切. 向量分析方法是力学、物理学和工程技术中的有力工具. 向量分析方法是空间解析几何中的最基本的方法. 在第一章中，通过定义向量的线性运算，为在直线、平面和空间建立坐标系打下基础. 建立坐标系后，在第二章研究具有最简单方程——一次方程——的空间图形，即空间平面和直线. 第三章研究空间一些常见的简单曲面：旋转面、柱面、锥面、二次曲面和直纹面. 第四章介绍平面和空间的坐标变换公式. 第五章研究平面二次曲线，给出二次曲线一般理论及其性质. 第六章介绍平面和空间的正交变换和仿射变换． 约法三章 1. 上课保持安静，有问题先举手. 2. 按时、认真完成作业. 3. 做好课前预习. 第一章 向量代数 本章内容简介 内容：向量的概念，向量的线性运算，线性相关性，坐标系，内积，外积，混合积. 难点：线性相关与线性无关，二重外积公式 计划学时：16学时，其中习题课4学时 §1 向量及其线性运算 1.1 向量的概念 中学阶段已经接触过平面向量的概念. (?) 基本概念：向量；向量的长度；相等的向量；单位向量；零向量；反向量；共线与共面 定义 既有大小又有方向的量称为向量(或矢量，vector). (什么是量？) 物理中的力、位移、速度、加速度等都是向量. 在本课程中，向量就是有向线段, 也就是几何向量. 几何向量：对于空间中的一条直线段，规定两个端点中的一个(A)为始点，另一个端点(B)为终点，就得到一个有向线段，记为. 一个向量可用有向线段表示，有向线段的始点A就是向量的始点，有向线段的终点B则是向量的终点. 向量可用符号表示，或表示. 注意向量与数量在记号上的区别：，. 特别在习题中，向量用黑体表示. 向量的长度(模，模长)：在空间中取定单位长度后，线段的长度称为向量(或)的长度(length)或模(norm)，记作或. 向量的相等：规定长度相等并且方向相同的有向线段表示同一个向量. 定义 如果向量与长度相等并且方向相同，则称与是相等的向量，记作. 注 向量经平行移动后得到相等的向量. 这种起点可自由选取的向量叫做自由向量(free vector). 两个向量是否相等，仅与大小和方向有关，与它们的起点无关．用符号表示两个向量(作为有向线段)相互平行． 零向量：长度为0的向量称为零向量(zero vector)，记为．注意． 1. 零向量就是始点与终点重合的向量. 2. 零向量所代表的方向是不确定的.　(与定义1.1.1不一致) 我们约定：零向量可以指向任何一个方向. 单位向量(unit vector)就是长度为1的向量．对于非零向量，用表示与同方向的单位向量，称为向量方向的单位向量． 定义 与向量大小相同但方向相反的向量称为向量的反向量(负向量)，记为. 把一个向量的始点与终点互换就得到原向量的反向量，即． 从反向量的定义可以知道，即的反向量是． 1.2 向量的加法 定义1.1 对于向量，作有向线段表示，再作有向线段表示，则有向线段表示的向量称为与之和，记为，即. 这种求两个向量之和的方法称为向量加法(addition)的三角形法则. 向量加法的