[高二数学选修1、3-1-2导数的几何意义.ppt

1．知识与技能 了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 2．过程与方法 会求导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 本节重点：导数的几何意义． 本节难点：对导数几何意义的理解． 1．正确理解曲线的切线的定义，即：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的切线． 2．“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系 (1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数． (3)导函数也简称导数，所以 (4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．f′(x0)＝f′(x)|x＝x0. 1．已知曲线的切点P(x0，y0)，求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)； (3)若曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数不存在，就是切线与y轴平行或不存在；f′(x0)0，切线与x轴正向夹角为锐角；f′(x0)0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行． 注意：只有曲线方程可看成函数解析式时才能利用导数来求切线方程，否则不能利用导数来求，如求过圆上某点的切线方程就不能直接利用导数来求． 2．过曲线外的点P(x1，y1)，求曲线的切线方程的步骤： (1)设切点为(x0，y0)，求出切点坐标； (2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (3)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． ②导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ． 2．函数的导数 [例1]　过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率． [解析]　∵Δf＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1 ＝Δx3＋3Δx2＋3Δx， (1)求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ [分析]　解答本题可先求出切点坐标及斜率，再利用直线方程的点斜式形式求切线方程． [解析]　(1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4， ∴切点P(2,4)． 解得x1＝2，x2＝－4. 从而求得公共点为P(2,4)或M(－4，－20)． 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点． [点评]　求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在P点处的切线”的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在曲线上；而在点P处的切线，点P必为切点． 已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于 (　　) A．2 B．4 C．6＋6Δx2 D．6 [答案]　D [解析]　∵y＝2x3， [例3]　抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求P点的坐标及切线方程． [分析]　解答本题可先设切点坐标再利用切线斜率及切点在抛物线上列方程组求解． 得y′|x＝x0＝2x0. 又由切线与直线2x－y＋4＝0平行，得2x0＝2，x0＝1. ∵P(1，y0)在y＝x2上，∴y0＝1. ∴点P的坐标为(1,1)，切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. [点评]　解决切线问题的关键是求出切点坐标．求切点坐标往往利用切点既在曲线上又在切线上及切点处的导数值，即为切线斜率这些条件来构造方程组求解． 若抛物线y＝x2与直线2x－y＋m＝0相切，求m. [解析]　设切点为P(x0，y0)，由本例知，y′|x＝x0＝2x0. [例4]　若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，求点P的坐标． [分析]　抛物线上到直线y＝4x－5的距离最短的点，是平移该直线与抛物线相切时的切点．解答本题可先求导函数，再求P点的坐标． [解析]　由点P到直线y＝4x－5的距离最短知，过点P的切线方程与直线y＝4x－5平行．设P(x0，y0)，则 [点评]　求最值问题的基本思路：(1)目标函数法：通过设变量构造目标函数，利用函数求最值；(2)数形结合法：根据问题的几何意义，利用图形的特殊位置求最值． 求抛物线y＝4x2上的点到直线y＝4x－5的距离的最小值． [解析]　解法一：由例题解析知最