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三角形“四心”向量形式的充要条件应用(修正稿) 在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 知识点总结 1）O是的重心; 若O是的重心，则 故; 为的重心. 2）O是的垂心; 若O是(非直角三角形)的垂心， 则 故 3）O是的外心(或) 若O是的外心 则 故 4）O是内心的充要条件是 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才O是内心的充要条件可以写成　　　　 O是内心的充要条件也可以是 若O是的内心，则　 故　; 的内心; 向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； 范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（ ） （A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为， 又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B. 点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。 (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理” 例2． H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心. 由, 同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略）） 例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D　） A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心 解析:由. 即 则 所以P为的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，” 等相关知识巧妙结合。 (三)将平面向量与三角形重心例4． G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心. 证明 作图如右，图中 连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线. 将代入=0， 得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心. 证明 ∵G是△ABC的重心 ∴=0=0，即 由此可得.（反之亦然（证略）） 例6若 为内一点， ，则 是 的（???? ）A．内心?????????? B．外心??????? C．垂心????????? D．重心 得，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则，由平行四边形性质知，，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心重心重心。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心外心若 为内一点， 是 的（???? ）A．内心?????????? B．外心??????? C．垂心????????? D．重心到的三顶点距离相等。故 是 的外心?外心心，，满足条件++=0，||=||=||=1， 求证 △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题） 证明 由已知+=-，两边平方得·=， 同理 ·=·=， ∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形. 反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||. 即O是△ABC所在平面内一点， ++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心. 例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。 【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0） 由题设可设, 即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2 【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。 例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心. 求证 . 证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图. 连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD. ∴，.又垂心为H，，， ∴AH∥CD，CH∥AD， ∴四边形AHCD为平行四边形， ∴，故. 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的