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[圆锥曲线标准方程
圆锥曲线知识复习
复习总结:
名 称 椭 圆 双 曲 线
图 象
定 义
平面内到两定点的距离的和为常数(大于)的动点的轨迹叫椭圆即
当2﹥2时,轨迹是椭圆
当2=2时,轨迹是一条线段
当2﹤2时,轨迹不存在 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数(小于)的动点的轨迹叫双曲线即
当2﹤2时,轨迹是双曲线
当2=2时,轨迹是两条射线
当2﹥2时,轨迹不存在
标准方 程
焦点在轴上时:
焦点在轴上时:
注:是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 焦点在轴上时:
焦点在轴上时: 常数的关 系 , 渐近线 焦点在轴上时:
焦点在轴上时:
抛物线:
图形 方程 焦点 准线
知识点:
椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹,由这些条件可以求出它们的标准方程,并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质
1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹
2.椭圆的标准方程:, ()
3.椭圆的性质:由椭圆方程()
(1)范围: ,,椭圆落在组成的矩形中.
(2)对称性:图象关于轴对称.图象关于轴对称.图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心,简称中心.轴、轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距。
(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点: ,加两焦共有六个特殊点 叫椭圆的长轴,叫椭圆的短轴.长分别为.分别为椭圆的长半轴长和短半轴长,椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比
椭圆形状与的关系:,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在时的特例 椭圆变扁,直至成为极限位置线段,此时也可认为圆为椭圆在时的特例 .(识记方法)
4.双曲线的定义:平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数(小于)的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距
在同样的差下,两定点间距离较长,则所画出的双曲线的开口较开阔(两条平行线) 两定点间距离较短(大于定差),则所画出的双曲线的开口较狭窄(两条射线) 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关
5.双曲线的标准方程及特点:
(1)双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种:
焦点在轴上时双曲线的标准方程为:(,);
焦点在轴上时双曲线的标准方程为:(,)
(2)有关系式成立,且
其中与的大小关系:可以为
6.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置,即项的系数是正的,那么焦点在轴上;项的系数是正的,那么焦点在轴上
7.双曲线的几何性质:
(1)范围、对称性
由标准方程,从横的方向来看,直线x=-a,x=a之间没有图象,从纵的方向来看,随着x的增大,y的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心
(2)顶点
顶点:,特殊点:
实轴:长为, 叫做半实轴长 虚轴:长为,叫做虚半轴长
双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异
(3)渐近线
过双曲线的渐近线()
(4)离心率
双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率 范围:
双曲线形状与e的关系:,e越大,即渐近线的斜率的绝对值就大,这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔
8.等轴双曲线
定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:;(2)渐近线互相垂直;(3)离心率
9.共渐近线的双曲线系
如果双曲线与有公共渐近线,可设为
10 抛物线定义:
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线
11.抛物线的准线方程:
(1), 焦点:,准线:
(2), 焦点:,准线:
(3), 焦点:,准线:
(4) , 焦点:,准线:
相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的,即
不同点:(1)图形关于X轴对称时,X为一次项,Y为二次项,方程右端为、左端为;图形关于Y轴对称时,X为二次项,Y为一次项,方程右端为,左端为 (2)开口方向在X轴(或Y轴)正向时,焦点
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