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圆锥曲线的标准方程与几何性质 椭圆的标准方程与几何性质： 1、椭圆第一定义： 平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆焦距． 2、椭圆第二定义： 平面内到一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数的点的轨迹叫做椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数叫椭圆的离心率． 标准方程 焦点在轴上 焦点在轴上 几 何 性 质 范围 顶点坐标 ， 焦点坐标 准线方程 焦半径 ， ， 对称轴方程 、 长短轴 椭圆的长半轴长是，椭圆的短半轴长是． 离心率 关系 另外：（1）椭圆的通径就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段长度. （2）焦点三角形的面积为：. 2. 双曲线 第一定义：平面内与两个定点的距离之差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。 第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线. 方 程 （） （） 图 象 关 系 范 围 顶 点 对 称 性 关于轴成轴对称、关于原点成中心对称 渐 近 线 离 心 率 焦 点 准 线 另：共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线． 　　共轭双曲线有共同的渐近线； 共轭双曲线的四个焦点共圆．和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 二：抛物线的标准方程　　抛物线标准方程的四种形式：，，，。 三、抛物线的几何性质： 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 轴 轴 轴 轴 顶点 离心率 1．通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为2p 因为通过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为2p 2．已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。　　设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：　　①焦点弦长　　②　　③，其中|AF|叫做焦半径，　　④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p 测试题 一、填空题 1、双曲线的焦距是 。 2、双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是 。 3、已知椭圆的离心率为，则 。 4、双曲线的一个焦点为，则的值是 。 5、平面内有两个顶点和一动点M,设命题甲：是定值；命题乙：点M的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的条件。 6、若方程 所表示的曲线为C，给出下列四个命题： ①若C为椭圆，则1t4; ②若C为双曲线，则t4或t1； ③曲线C不可能是圆； ④若C表是椭圆，且长轴在x轴上， 则.其中真命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填上）。 二、解答题 7、已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若⊿ 是正三角形，求这个椭圆的离心率。 8、中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7，求这两条曲线的方程。 9、已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点. （1）求该椭圆的标准方程； （2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程； 10、设为椭圆的焦点，为椭圆上的一点，且，求的面积。 11、已知双曲线的右焦点为，过点作直线垂直于该双曲线的一条渐近线于．求该双曲线的方程的离心率，过点和的直线与原点的距离为。 ⑴求椭圆的方程； ⑵已知定点，若直线与椭圆交于两点，问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由。 13、在直线：上取一点，过点以椭圆的焦点为焦点作椭圆。 （1）点在何处时，所求椭圆长轴最短？ （2）求长轴最短时的椭圆方程。 练习： 1、椭圆的离心率为，则的值为