高等代数习题集.doc

高等代数习题集 苏州大学数学科学学院高等代数组收集 2003, 4,30 -------------------------------------------------------------------------------- 设 X = ，求X。 设二次型 f (x1, x2, ... , xn)是不定的，证明： 存在n维向量X0，使 X0AX0 = 0，其中A是该二次型的矩阵。 设 W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}。 a 证明：W是P[x]4的子空间。 b 求W的维数与一组基。 在R3中定义变换A：任意 (x1, x2, x3) R3, A(x1, x2, x3) = (2x2 + x3, x1 -4x2, 3x3)。 1， 证明：A是Rr3上线性变换， 2， 求A在基 xi1 = (1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi3 = (1, 1, 1)下的矩阵。 设 ，求正交矩阵T，使TAT成对角形。 设V是数域P上n维线性空间，A是V上可逆线性变换， W是A的不变子空间。证明：W也是A-1的不变子空间。 设V是n维欧氏空间，A是V上变换。 若任意 , V，有 (A, A) = (,)。 证明：A是V上线性变换，从而是V上正交变换。 设 X = ，求X。 设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| 0， 证明：存在实n维向量X0 0，使 X0AX0 0。 设 A = ， W = {| R4, A = 0}。证明： [1，]W是 4的一个子空间。 [2，]求W的维数与一组基。 设 B， C = ，在 R2 x 2中定义变换A：任意 X R2 x 2, A(X) = BXC。 1， 证明：A是 R2 x 2上线性变换。。 2， 求A在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵。 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。 设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换， 若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明： V = AV.+A-1(0)。 设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。 证明：W也是A的不变子空间。 设 X = ，求X。 设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| 0， 证明：存在实n维向量X0 0，使 X0AX0 0。 设 A = ， W = {| R4, A = 0}。证明： [1，]W是 4的一个子空间。 [2，]求W的维数与一组基。 设 B， C = ，在 R2 x 2中定义变换A：任意 X R2 x 2, A(X) = BXC。 [1，]证明：A是 R2 x 2上线性变换。。 [2，]求A在基 E11, E12, E21, E22下的矩阵。 用正交线性替换，化实二次型 f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。 设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换， 若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明： V = AV.+A-1(0)。 设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。 证明：W也是A的不变子空间。 设 X = ，求矩阵X。 设实二次型 f (x1, x2, ... , xn) = XAX的秩是n,其中A是实对称矩阵. 证明:实二次型 g(x1, x2, ... , xn) = XA-1X与 f (x1, x2, ... , xn)有相同的正负惯性指数和符号差 。 设 W = {(a1, a2, ... , an)| ai R,ai = 0} 证明 [1，]证明：W是 Rn的子空间。 [2，]求W的维数与一组基。 设 B = , B = .在 R2中定义变换 : 对任意 X R2 x 2,X = BX + XC [1，]证明：是V上线性变换。 [2，]求在基 E11, E12, E21, E22 下的矩阵。 设 A = ，求正交矩阵T，使TAT成对角形。 设V为数域P上n维线性空间，V1, V2为其子空间， 且 V = V1V2,为V上可逆的线性变换. 证明： V = V1 + V2。 设V为n维欧氏空间，若A既是V上对称变换且A2 = E。 证明：存在V的一组标准正交基，使得在该基下的矩阵为 。 设 X = ，求矩阵X。 设 f (x1, x2, ... , xn) = XAX是实二次型,其中A是实对称矩阵.如果XAX = 0当且仅当X = 0。