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高等工程数学题 一、非空集合V为数域P上的线性空间，α∈V，λ∈P，θ为零元素，证明性质：1、0·α=θ 2、λ·θ=θ 3、（-1）α=-α 证明：1、∵α+0·α=（1+0）·α=α，由线性空间运算规则第3条规则 ∴0·α=θ 2、∵当λ≠0时，α+λ·θ=λ·（1/λ·α） 2) 设χ′为χ对第(2)基的坐标,则χ′=A-1·χ,下面通过坐标变换求A-1 ======= ∴A-1= ∴向量χ对第（2）组基的坐标为 3)根据题意令χ′=χ，则 解方程组得ξ1=ξ2=ξ3=-ξ4,根据题意,存在任意非零向量(c,c,c,-c)(c≠0)对两组基有相同坐标. 三、设向量组1）α1=（1,0,2,1）；α2=（2,0,1,-1）；α3=（3,0,3,0），2）β1=（1,1,0,1）；β2=（4,1,3,1）. 若V1=L(α1,α2,α3),V2=L(β1,β2),求V1+ V2的维数及一组基。 解：V1+V2= L(α1,α2,α3)+ L(β1,β2)= L(α1,α2,α3,β1,β2) 要求V1+ V2的维数只需求矩阵（α1T,α2T,α3T,β1T,β2T）=== 由上式可知α1,α2,β1为α1,α2,α3,β1,β2的一个极大无关组，所以V1+ V2的维数是3维，一组基为α1,α2,β1。 四、在R3中，求下列各线性变换T在所指定基下的矩阵： 1）T(x1,x2,x3)=(2x1-x2,x2+x3,x1)在基ε1=（1,0,0）；ε2=（0,1,0）；ε3=（0,0,1）下的矩阵 2）已知线性变换T在基 η1=（-1,1,1）；η2=（1,0,-1）；η3=（0,1,1）下的矩阵为 求T在基ε1=（1,0,0）；ε2=（0,1,0）；ε3=（0,0,1）下的矩阵。 解：1）由题意可知：Tε1=(2 0 1)T; Tε2=(-1 1 0)T; Tε3=(0 1 0)T. ∴T(x1,x2,x3)在基ε1，ε2，ε3下的矩阵为:A=( Tε1,Tε2,Tε3)= 2）由题意先求从ε1，ε2，ε3到η1，η2，η3的过渡矩阵C及C-1 /(ε1，ε2，ε3)C=(η1，η2，η3) η1=-ε1+ε2+ε3; η2=ε1-ε3; η3=ε2+ε3. /∴C=.根据矩阵变换求C-1 ===∴C-1= 根据矩阵变换公式B= C-1AC,根据题意，已知B,求A，则A=CBC-1 A=== /则T在基ε1，ε2，ε3下的矩阵为。 五、求齐次线性方程组的解空间（作为R5的子空间）的一组标准正交基。 解：由题意可知该齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，则其解空间的维数为5-2=3维。 由方程组（1）式-（2）式得：x1=4x5-x4,代入（2）式得：x2=x3-x5-(4x5-x4)=x3+x4-5x5 则方程组的解可表示为（4x5-x4,x3+x4-5x5,x3,x4,x5） （x3,x4,x5）分别取（1,0,0）、（0,1,0）、（0,0,1），可得方程组的基础解系α1,α2,α3分别为（0,1,1,0,0）、（-1,1,0,1,0）、（4,-5,0,0,1），先正交化：则: 单位化: ; ∴所求的标准正交基为,, 六、下列矩阵能否与对角形矩阵相似？若A能与对角形矩阵相似， 则求出可逆矩阵P，使得P-1AP为对角形矩阵：1）A= 2）A= 3）A= 解:（1）先求特征多项式 /根据定理，该矩阵有两个不同的特征值，故1）能相似于对角矩阵。 又 /分别解方程组分别取两组解为 /验证 （2）先求特征多项式 根据定理，该矩阵有3个不同的特征值，故2）能相似于对角矩阵。 又 /分别解方程组. 分别取解得的三组解为：则 。/验证：。 （3）先求特征多项式 /又， 易得该系数矩阵的秩为1该特征方程组的解空间是2维的由前面知该矩阵有3个特征值，根据定理，3）不能相似于对角矩阵。 七、在复数域上，求下列矩阵的约当标准型：3） 4） 解：3） A（）=E-A= D3（）=（-3）（+1）（+5）+16（+1）=（+1）（2+2+1）=（+1）3 D2（）=((-3)(+1),-6(-3)-24,8(+1),0,0,(-3)(+5)+16,-2(+1),(+1)(+5),-3(+5)+12)) =((-3)(+1),-6(+1),8(+1),0,0,(+1)2,-2(+1),(+1)(+5),-3(+1)) =+1 D1（）=1 则：d1（）= D1（）=1，d2（）==+1，d3（）==(+1)2 /所以该矩阵的约当标准型为. 4） A（）=E-A= D3（）=（-4）（+2）（