高考应用题解法.doc

高考应用题解法 　　 近几年来，高考试题在原有基础上进一步加强了对考生运用所掌握的数学知识解决联系生产和生活实际问题能力考查，这些题目的立意，实际背景、假设的情境，设问角度和方式都很新颖灵活。很多考生由于阅读理解能力的训练不足，而语感困难，本文就此有关问题略予浅见，希望于事有所脾益。　　由于应用问题的实际背景的多样性，立意新颖，设问方式多变，因而增加了“数学建模”的复杂性和难度，这就要求考生一方面要牢固掌握基础知识，基本技能和基本方法；另一方面还应注意不断提高阅读能力和理解能力，善于把文字语言转译成数学语言，特别在学习某项知识时,不但要深刻了解其产生背景,还要清楚它的使用条件和场合，形成使用该项知识的自觉意识，这样就不会得到头，茫然无措，而能做到心有灵犀一点通。　　根据中学阶段所学知识的实际情况,应用题的内容大致分为以下几个方面：(1)与函数、方程、不等式有关的应用题，经常涉及路程、物价、产量等实际问题，也可涉及长度、角度、面积、体积等几何量，解答这类问题一般要列出有关解析式,然后用函数方程、不等式等有关知识和方法加以解决；(2)与数列有关的应用题，经常涉及到与增长率有关的实际问题,需要运用等差、等比数列和简单的递推知识；(3)与三角函数有关的应用，一般涉及航行、测理及物理学中的摆动、振动等；(4)立体身体应用题，如空中的观测,地球的经纬度、面积、体积的计算等实际问题；(5)与二次曲线有关的应用题，这类问题需要建立坐标系,运用解析几何知识加以解决。一、增长率问题例1．从1981年到本世纪末的20年，我国力争使全国的工农业总产值翻两番即由1980年的7100亿元增长到2000年的28400亿元。　　 (1)求平均每年的增长率 ； (2)如果每年增长8％，几年可以翻两番？分析：问题(1)可看成是已知a1＝7100，a2＝28400，q＝1＋x而求公比q的问题，问题(2)则可看成是已知首项，第n项和公比，而求项数n的问题解：(1)设平均每年增长率为x，依题意有7100(1＋x)20＝28400　　　　即(1＋x)20＝4　　∴ 20lg(1＋x)＝2lg2　lg(1＋x)≈0.03010　　　　1＋x≈1.072　　　∴ x≈7.2％　　(2)设经过y年可以翻两番则7100(1＋0.08)y＝28400　　　　即1.08y＝4　　　 ∴ ylg1.08＝2lg2 　　　　∴ y＝2lg2/lg1.08＝0.6020/0.0334≈18.02≈18答：(1)平均每年的增长率为7.2％(2)约需18年可以翻两番。例2．右图为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从一端输入经过各对轧辊逐步减薄后输出。 ? (1)输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β,若每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？(一对轧辊减薄率＝输入该对带钢厚度－从该对输出的带钢厚度/输入该对的带钢厚度)　　(2)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20％的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm，若第k对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为LK，为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表(轧钢过程中带钢宽度不变，且不考虑损耗)(99年高考试题) 轧辊序号K 　　 1 　　 2 　　3 　　4 疲点间距LK(单位：mm) 　 　 　 　 1600 分析：此题看似复杂,实际上只要对等比数列理解较深,便立即会意识到这是一道有关利用等比数列等知识解答的工业生产中的应用问题,题目给出了冷轧机的示意图，交待了加工过程,注明了一对轧辊减薄率公式,由所给公式可知,经第1对轧辊减薄后的带钢厚度为α(1－r0)经第对轧辊减薄后的带钢厚度为α(1－r0)2…经第n对轧辊减薄后的带钢厚度为α(1－r0)n依题意有α(1－r0)n≤β，于是问题就归结为解上述n个不等式。至于第2问,只要意识到两疵点间带钢的体积减薄前后未变,问题便会迎刃而解。解：(1)厚度为α的带钢经过减薄率均为r0的n对轧辊后,厚度为α(1－r0)n,为使输出带钢的厚度不超过β,冷轧机的轧辊数以对为单位，应满足α(1－r0)n≤β，即(1－r0)n≤β/α，由于(1－r0)n＞0， β/α＞0对上式两端取对数，得nlg(1－r0)≤lgβ/α，由于lg(1－r0)＜0，所以： n≥lgβ－lgα/lg(1－r0)，因此，至少需要安装不小于lgβ－lgα/lg(1－r0)的整数对轧辊，也即是至少需要安装比lgβ－lgα/lg(1－r0)的整数部分多1对轧辊。　　(2)第K对思辊出n处疵点间的距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为：1600α(1－r)k×宽度(其中r＝20％)而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体