[第1章数值分析.ppt

数 值 分 析 李 伟 才 QQ:329670138 Email:liweicai221@163.com 石家庄学院数信系 二零一二年九月 第1章数值分析与科学计算引论 1.1 数值分析研究对象与特点 1.2 数值计算的误差 1.2.2 误差与有效数字 练习 1.2.3 数值运算的误差估计 1.3 误差定性分析与避免误差危害 1.3.1 算法的数值稳定性 1.3.2 病态问题与条件数 1.3.3 避免误差危害的若干原则 1)对阶,机内运算时要求对阶,日常运算要对齐小数点, 2)对阶的原则,阶码小的数的尾数右移达到阶码增大直到 与另一个数的阶码相同为止, 例:在四舍五入,尾数为4位的假想运算 原则2:防止大数“吃掉”小数 原则3:注意简化步骤,减少运算次数 练习一 谢 谢 ！ 设 是一元函数， 的近似值为 ，以 近 似 ，其误差界记作 ， 一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差， 取绝对值得 其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计. 利用泰勒展开 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 假定 与 的比值不太大，可忽略 的高阶项， 于是可得计算函数的误差限 练习:设 的相对误差为 的误差,相对误差限 解:该问题属于函数值求值的误差的估计 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 当 为多元函数，如计算 时. 的近似值为 ， 则 的近似值为 于是由泰勒展开， 函数值 的误差 为 如果 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 于是误差限 （2.3） 而 的相对误差限为 （2.4） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一个工程或科学计算问题往往要运算千万次，由于每 步运算都有误差，如果每步都做误差分析是不可能的，也 不科学. 因为误差积累有正有负，绝对值有大有小，都按最坏 情况估计误差限得到的结果比实际误差大得多，这种保守 的误差估计不反映实际误差积累. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 常用误差分析法： (1)考虑到误差分布的随机性，有人用概率统计方法，将 数据和运算中的舍入误差视为适合某种分布的随机变量， (2) 20世纪60年代以后对舍入误差分析提出了一些新方法， 较重要的有威尔金森(Wilkinson )的向后前误差分析法和向后 误差分析法. 然后确定计算结果的误差分布，这样得到的误差估计更接近实际， 这种方法称为概率分析法. (3)穆尔(Moore)的区间分析法. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播 使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的. 计算 并估计误差. 由分部积分可得计算 的递推公式 若计算出 ， 代入（3.2），可逐次求出 的值. （3.1） 例5 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5