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[垂直关系的证明
垂直关系的判定与性质
一、知识梳理
(2)两直线垂直的判定
①定义:若两直线成90°角,则这两直线互相垂直.
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c
③一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,bα,a⊥b.
④三垂线定理和它的逆定理:在平面内的一条直线,若和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
⑤如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.
⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直,即若α⊥β,β⊥γ,γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,则a⊥b,b⊥c,c⊥a.
(4)直线与平面垂直的判定
①定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直.
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.即若mα,nα,m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面,即若α∥β,l⊥β,则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即若α⊥β,a∩β=α,lβ,l⊥a,则l⊥α.
⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面,即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.
(6)两平面垂直的判定
①定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直,即二面角α-a-β=90°α⊥β.
②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即若l⊥β,lα,则α⊥β.
③一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也垂直于另一个.即若α∥β,α⊥γ,则β⊥γ.
.求证:AO⊥平面BCD.
考点二:面面垂直的判定及性质
例2:如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD边的中点.
(1)求证:BG⊥平面PAD (2)求证:AD⊥PB
(3)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.
即时训练 在斜三棱柱中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中点,求证:AD⊥
(2)过侧面的对角线的平面交侧棱于M,若AM=,求证:截面⊥侧面.
考点三:平行、垂直关系的综合应用
例3 如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中点.如图2,将△ABE沿AE折起,使二面角B-AE-C成直二面角,连结BC,BD,F是CD的中点,P是棱BC的中点.
(1)求证:AE⊥BD;
(2)求证:平面PEF⊥平面AECD;
(3)判断DE能否垂直于平面ABC,并说明理由.
2、 如图所示,直三棱柱—中,=,⊥,M、N分别是、AB的中点.
(1)求证:⊥平面;(2)求证:⊥AM;
(3)求证:平面∥平面;(4)求与所成的角
3、 如图①,长方形ABCD中,BC=,AB=6,把它折成正三棱柱的侧面(如图②),使AD与BC重合,长方形的对角线AC与折痕线EF、GH分别交于M、N,连结AN.
(1)求多面体AMND的体积;
(2)求证:平面DMN⊥侧面ADFE.
三、模拟演练
1.(2010年宁波十校联考)设b、c表示两条直线,α,β表示两个平面,则下列命题是真命题的是________.
①若bα,c∥α,则b∥c ②若bα,b∥c,则c∥α
③若c∥α,α⊥β,则c⊥β ④若c∥α,c⊥β,则α⊥β
解析:①中,b,c亦可能异面;②中,也可能是cα;③中,c与β的关系还可能是斜交、平行或cβ;④中,由面面垂直的判定定理可知正确.答案:④
2.(2010年青岛质检)已知直线l⊥平面α,直线m平面β,下面有三个命题:
①α∥βl⊥m;②α⊥βl∥m;③l∥mα⊥β.则真命题的个数为________.
解析:对于①,由直线l⊥平面α,α∥β,得l⊥β,又直线m平面β,故l⊥m,故①正确;对于②,由条件不一定得到l∥m,还有l与m垂直和异面的情况,故②错误;对于③,显然正确.故正确命题的个数为2.答案:2个
3.(2009年高考山东卷改编)已知α、β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β ”是“m⊥β ”的________条件.
解析:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β,反过来则不一定.所以“α
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