浅谈坐标系中的对称问题939.doc

浅谈坐标系中的对称问题 山东沂源县徐家庄中学左效平 256116 在平面几何中，我们学习了轴对称和中心对称。然而，轴对称和中心对称在坐标系中也有出色的表现。阅读下文后，也许同学们就相信我说的话了。 一、点的对称 例1、 1、点A(-2,1)关于y轴对称的点的坐标为___________,关于原点对称的点的坐标为________.（08常州市） 2、点P（－2，3）关于x轴的对称点的坐标是________．（08年甘肃省白银市） 分析：坐标系中点的坐标的对称点的坐标，分为三种情况： 1、关于x轴对称： 两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反。 即A（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b）。 2、关于y轴对称： 两个点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变相反。 即A（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（-a， b）。 3、关于原点对称： 两个点关于原点对称，横坐标变相反，纵坐标变相反。 即A（a，b）关于原点对称的点的坐标为（-a，-b）。 同学们，只要熟记上述变化规律，就能轻松解答这类问题。 解： 点A(-2,1)关于y轴对称的点的坐标为(2, 1)，关于原点对称的点的坐标为(2, -1)， 点P（－2，3）关于x轴的对称点的坐标是（－2，-3） 例2、如图1，如果与关于轴对称，那么点的对应点的坐标为 ．（08年遵义市） 分析：本题通过坐标系的方式给出，首先要让同学们自己看懂坐标系，找出A的坐标，然后再根据对称的方式确定对称点的坐标。从图上不难看出，A的坐标为（1，3），因为，与关于轴对称， 所以，点（1，3）的对应点的坐标为（-1，3）。 解：填（-1，3）。 例3、在平面直角坐标系中，将点A（1，2）的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点A′，则点A与点A′的关系是 (08年扬州市) A、关于x轴对称 B、关于y轴对称 C、关于原点对称 D、将点A向x轴负方向平移一个单位得点A′ 分析：将点A（1，2）的横坐标乘以-1，也就意味着把横坐标变成原数的相反数，而纵坐标不变，根据关于x轴对称：两个点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反。 关于y轴对称：两个点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变相反。 关于原点对称：两个点关于原点对称，横坐标变相反，纵坐标变相反的变化规律，可以判断变化前后的两个点是关于y轴对称的。 解：选择B。 例4、如图2，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P关于点A的对称点M处，接着跳到点M关于点B的对称点N处，第三次再跳到点N关于C的对称点处，…．如此下去。 （1）在图中画出点M、N，并写出点M、N的坐标：_____________ （2）求经过第2008次跳动之后，棋子落点与点P的距离。(08年安徽省) 分析：如果A（a，b）和B（x，y）关于点C（m,n）对称，则一定有如下两个等式成立： a+x=2m, b+y=2n. 这样，我们就可以求得对称点的坐标。c 解： （1）因为，点P的坐标为（0，-2），点A的坐标为（-1，-1） 设点M（x，y）， 则0+x=2×（-1），-2+y=2×（-1）， 所以，x=-2，y=0， 所以，点M的坐标为（-2，0） 因为，点M的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2） 设点N（m，n）， 则-2+ m =2×1，0+n=2×2， 所以，m=4，n=4， 所以，点N的坐标为（4，4） (画图略) （2） 因为，棋子跳动3次后又回点P处，所以经过第2008次跳动后，棋子落在点M处， ∴PM= 答：经过第2008次跳动后，棋子落点与P点的距离为. 二、线的对称 问题：已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称，求k、b的值。 解法1： 设A（x，y）是直线y= -3x+7上一个点， 其关于y轴对称的点的坐标为（-x，y ）， 则有：y= -3x+7，y= -kx+b 整理，得：-3x+7= -kx+b， 比较对应项，得：k=3，b=7。 解法2：设A（m，n）是直线y= -3x+7上一个点， 其关于y轴对称的点的坐标为（a，b）， 则有：b=n，m=-a， 因为，A（m，n）是直线y= -3x+7上一个点， 所以，点的坐标满足函数的表达式， 即n=-3×m+7， 把n=b，m=-a，代入上式，得： b=-3×（-a）+7， 整理，得：b=3a+7，即y=3x+7，它实际上与直线y=kx+b是同一条直线， 比较对应项，得：k=3，b=7。 解法3： 因为，y=kx+b，所以，x=， 因为，y= -3x+7，所以，x=， 因为，直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴