高考第一轮复习数学：对称问题.doc

7.3 对称问题 ●知识梳理 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有 ·k=－1， =k·+b， 特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下： （1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2a－x，2b－y）=0. （2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法： 设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P′（y，x），则由（2）知，P与P′的坐标满足 ·k=－1， =k·+b， 代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）； （2）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）； （3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）； （4）点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）； （5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（－y，－x）. ●点击双基 1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为 A.（a，b） B.（b，a） C.（－a，－b） D.（－b，－a） 解析：N（a，－b），P（－a，－b），则Q（b，a）． 答案：B 2.（2004年浙江，理4）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是 A.y2=8－4x B.y2=4x－8 C.y2=16－4x D.y2=4x－16 解析：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4－x，y）.因为Q（4－x，y）在曲线y2=4x上， 所以y2=4（4－x），即y2=16－4x. 答案：C 3.已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是 A.= B.p=－5 C.m=－n且p=－5 D.=－且p=－5 解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（－x）+my+5=0，即x－my－5=0，与l2比较， ∴m=－n且p=－5.反之亦验证成立. 答案：C 4.点A（4，5）关于直线l的对称点为B（－2，7），则l的方程为____________. 解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线. 答案：3x－y+3=0 5.设直线x+4y－5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y－3=0对称的直线的倾斜角是____________. 解析：数形结合. 答案：π－θ ●典例剖析 【例1】 求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x+y－4=0， 3x+4y－1=0， 方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－. 则=. 解得k=－. 代入点斜式得直线b的方程为 y－（－2）=－（x－3）， 即2x+11y+16=0. 方法二：在直线a：2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0）， 3×+4×－1=0， =， 解得B（，－）. 由