对称性在初中数学中的运用.doc

对称性在初中数学中的运用 “对称”不仅是中学数学内容中一个重要的概念，更是一种重要的思想方法。在“对称”中往往体现出数学的“美”来。 对称性问题是一类用运动的观点、运动的思想去研究图形位置变化或图形性质的数学问题，有时在代数中若能运用，就更会有独到的效果。这类数学问题常常要运用“动”的思想去观察、分析、推理、猜想，在运动中寻找不变的量，从而发现规律，达到解决问题的目的。 这类问题一般有两类：一类是根据条件中的图形运动，研究图形在运动过程中或经过运动后的位置变化与相关性质；另一类是条件中无图形的运动，要利用运动的思想研究其有关性质。 在初中数学中，图形的运动的基本形式有三种：（1）平移（包括点的移动）；（2）图形的翻折；（3）图形的旋转。无论哪种运动都有一个极为重要的基本结论：任何图形经过运动后，其形状、大小都保持不变，即对应边、对应角都相等，变化的只是图形的位置，这在解题中是潜在的重要前提。下面通过几个例题进行简单的分析说明“对称性”在解题中的运用。 一、初中数学解题中图形的对称性的灵活运用。 例1、如图1：ABC中，AB=AC,BAC=，BD平分ABC，且与AC相交于点D。 求：AD:DC的值； A D B C （图1） 分析：读完题目，要抓住BD平分BAC的条件，将ABD翻折过来，点A落在BC边的点处（如图2），这样AD与D重合，则AD=D，问题就归纳为在DC中求D：DC的问题。 A D B C 解法一：如图2 在BC边上截取一点，使B=BA， ∵BD平分BAC，即∠ABD=∠DB，且BD=BD ∴ABD≌BD ∴AD=D，∠BD=∠BAC= ∴∠DC=∠BD=， 又∵AB=AC ∴∠C=∠B= ,则∠DC= 在Rt DC中：D：DC=tgC=tg=, ∴AD:DC= F A D B C E （如图3） 解法二：如图3 过D作DE⊥BC于E，DF⊥BA于F； ∵BD平分BAC，∴DE = DF， 同解法一，∠BAC=，∠C=∠B= 得到∠FAD=， 在Rt DEC中 DE=DCsinC=DCsin=DC， 在Rt DAF中 DF=ADsin∠FAD=ADsin=AD ∴DC=AD, ∴AD:DC= [说明]无论是解法一中作辅助线的作用在于把ABD翻折过来，还是解法二种的由对称性导出的角平分线的性质的运用，都是应用了图形的对称性的翻折的性质解决问题。方法简单便于联想，当然还有其它方法，请读者自己完成。 例2：设x的一个二次函数的图象过A（0，1），B（1，3），C（-1，1）三点，求这个二次函数的解析式。 思路　如果不仔细观察三个点的坐标特点，设一般式求解，计算就很复杂，但通过观察掌握了三个点的特点，利用点的“对称”性，则达到事半功倍的效果。 解　A（0，1）、C（-1，1）两点是抛物线上的两个关于对称轴对称的点，所以该抛物线对称轴为x=，结合A（0，1）是抛物线y轴的交点，即函数的一般表达式中的常数项应为1，据此可设所求函数表达式为 Y=a（x+ ）2+