03-01 轴对称单元.doc

第三章 轴对称、三维和高次单元 在第二章介绍了平面问题的有限单元法的基本原理和面常应变三角形单元。在这一章里将介绍更常用的适合于轴对称问题和普遍空间问题的轴对称单元、三维单元和计算精度较好的高次单元。 §3-1 轴对称单元 如果变形体的几何形状，边界条件及载荷都对称于某一轴线，则变形体受载时的位移、应变和应力也都对称于这个轴线。这类问题称为轴对称问题。工程中许多构件，如液压缸、汽轮机转子、压力容器等均属此类问题。此类构件通常在高温、高压或高速状态下工作，其工作可靠性是非常重要的，所以对它们进行应力分析具有现实意义。 根据对称性，轴对称物体的几何物理参数与轴向和径向位置有关，而与圆周方向位置无关，所以可用z、r二个参数完全表示(图3-1)，即只要研究其任一过轴线平面(子午面)上的参数即可。所以轴对称问题和平面问题非常相似。本节重点讨论二者的不同特点。 以轴对称物件的子午面作为计算简图。用三角形单元对之进行分割(离散化)。由于轴对称构件是由子午面绕对称轴旋转而成，所以子午面上的三角形单元实际上是“三棱圆环体”单元，单元之间用圆环铰链相连(如图3-1)。同样，子午面上的节点、棱边实际上是节圆、棱环。 一、位移函数 和平面问题一样，子午面上任一三角形单元位移函数可设为线性模式，即 (3-1) 写成矩阵形式即为 可以证明，(3-1)式完全满足三个收敛准则，保证轴对称有限单元法解答在单元尺寸逐步取小时能够收敛于正确解。但由于轴对称问题中任一径向位移都对应于相应的环向正应变，所以(3-1)式所取反映刚性位移仅适合于roz平面；对整体讲仅指轴线方向(z向)。 经过和平面问题同样的推演，即把单元e三个节点i,j,m的节点坐标和节点位移代入(3-1)式中，可以解出六个待定系数，，…，；再将它们代回(3-1)式中，即得到用形函数表达的单元内任一点的位移： (3-2) 式中 (i,j,m) (3-3) (3-4) (i,j,m) (3-5) 将式(3-2)写成矩阵形式，有 (3-6) 式中，单元节位移列阵表达式为 (3-7) 形函数矩阵表达式为 (3-8) 为二阶单位矩阵。 二、单元应变与应力 1. 单元应变 由固体力学知，轴对称问题的几何方程为 (3-9) 其中，是被研究点在圆周方向正应变，其由该点在径向方向的位移u引起。 将式(3-2)及式(3-3)代入(3-9)式，可得 (3-10) 式中 (i,j,m)。 (3-10)式可简写为 (3-11) 其中矩阵即为应变矩阵，可写为分块形式 (3-12) 其子矩阵为 (i,j,m) (3-13) 2. 单元应力 由广义虎克定律可写出轴对称问题之弹性方程： (3-14) 可以简写为 (3-14a) 式中 ， 将(3-11)式代入(3-14)式，可得 其中，即为应力矩阵，可表示为 (3-15) 并可写成分块形式 式中 （i,j,m) (3-16) 由上面(3-10)～(3-13)各式可以看出，轴对称问题的三角形单元在子午面内的应变分量、、和平面问题的三角形单元一样，也是定常量，但是，和子午面垂直方向之正应变，由于和径向位移u及径坐标r有关，在线性位移模式下，已不是常量，而是坐标z、r的函数。因而几何矩阵就不是定常矩阵，而是z、r的函数。 根据广义虎克定律，正应力是由三个正交方向的正应变共同决定的，轴对称三角形单元中的非定常就造成了、、亦不是常量而只有切应力是一常量。 在实用上，为简化计算和消除由于r=0所引起的麻烦，通常将单元的坐标看作常量，即用形心坐标来代替上面各式中的r、z，即 (3-17) 就是将各单元形心的应变应力作为单元应变应力，如此各单元就变成了常应变和应力单元。 三、单元刚度矩阵 仿照平面问题通过轴对称问题的虚功方程来分析单元节点位移和节点力的关系，可得单元刚度矩阵。 (