初三升高一数学教材解析.doc

集合与函数概念 集合 集合的含义与表示 元素：一般地，我们把研究的对象称为元素（element）。 元素通常用小写字母a，b，c…表示。 集合：把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。 集合通常用大写字母A，B，C…表示。 课文说“我们一般用花括号‘{}’表示集合”，也就是赋予了符号“{}”新的含义：表示“所有的”、“全部的”，具有共同特征的研究对象都在大括号内。 注意：{正数}表示所有大于0的实数组成的集合。这种表示是正确的。 但是{所有的正数}这种表示方法是错误的。因为“{}”已经包含“所有的”含义。 元素与集合的关系：元素与集合的关系有“属于”和“不属于”两种。 元素a属于集合A，记作aA；元素a不属于集合A，记作aA。 符号和是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系。 aA与aA取决于a是不是集合A中的元素。两种情况有且只有一种成立。 集合中元素的特征：①确定性；②互异性；③无序性。 集合的分类：①有限集；②无限集。 集合的表示方法： 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法时注意叙述清楚。 如：大于1且小于10的偶数构成的集合 注意：用自然语言描述集合不要出现花括号{}。 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。 注意元素不能重复且元素之间用分隔号“，”。 如：所有正奇数的集合为{1，3，5，7，9，…} 描述法：把集合中元素的共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法，它的一般形式是{xI|P(x)}，其中“x”是集合中元素的代表形式，它的范围是I；“P(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略。 如不等式2x-51的解集可表示为{x|x 3}或{xR|2 x -51}或{x|2 x -51} 韦恩（Venn）图法：为了形象地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的整体。 区间法：（将会在后面的“1.2函数的概念及其表示法”中学习到。） 特殊集合的表示： 对于一些常用的数集，我们指定一些大写的拉丁字母专门表示这些集合： ①非负整数集（或自然数集）记作N；②正整数集记作N+或者N*；③整数集记作Z；④有理数集记作Q；⑤实数集记作R。 [例1]考查下列每组对象能否构成一个集合： （1）著名数学家； （2）月成辅导学校所有高个子同学； （3）直角坐标平面内第一象限的一些点； （4）的近似值的全体； （5）不超过10的非负数。 [例2]用符号或填空： （1）； （2）； （3）。 [例3]按要求分别表示下面的集合： （1）用自然语言描述集合{0，2，4，6，8，…}； （2）用列举法表示集合{30的正约数}； （3）用描述法表示集合“正偶数集”； （4）用描述法表示集合{2，-4，6，-8，…，98，-100}； （5）用列举法表示集合{(x，y)|x+y=3，xN，yN}。 [例4]下面三个集合：①；②；③。 （1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？ [例5]由实数所组成的集合，最多含有元素的个数为（） A.2 B.3 C.4 D.5 [例6]已知集合M={-2，，若2M，求x。 [例7]若，求实数的值。 [例8]设集合A={1，，}，B={，，}，且A=B，求实数。 [例9]已知集合S={a，b，c}中三个元素分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 [例10]已知集合,其中为常数且R。 若集合A是空集，求的范围； 若集合A只有一个元素，求的值； 若集合A中至多有一个元素，求的范围。 集合间的基本关系 子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说集合A包含于集合B，或说集合B包含集合A，记作：AB（或BA）。这时我们也说集合A是集合B的子集。 注意：①当A不是B的子集是记作AB（或BA）；②任何一个集合是它本身的子集，即AA；③空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，通常记为；④空集是任何集合的子集，即A；⑤子集具有“传递性”，即：如果AB，BC，那么AC。 集合相等：如果集合A中的任何一个元素，都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。 根据集合相等的定义可知：要证明A=B，只要证明AB且BA成立即可。 真子集：如果AB，且A≠B，就说集合A是集合B的真子集，记作AB 注意：空集是任何非空集合的真子集。 有限集合的子集个数问题： 个元素的集合有个子集； 个元素的集合有个真子集； 个元素的集合有个非空真集。 [例11]已知集合A＝－1，3，2－1， B＝3，。若，求实数的值。 [例12]已