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灰色（GM）建模用于学生成绩预测 一、GM 建模理论 灰色系统理论是中国学者邓聚龙教授于1982年3月首先在国际上提出来的。该理论除了研究工业控制外，还研究包括社会、经济、农业、电力等灰色系统的分析、建模、预测和控制等。一般建模是用数据列建立差分方程，而灰色建模则是运用历史数据列累加后生成新的数据列，再建立微分方程模型。作为电力负荷预测的一种有效模型——GM(1，1)，是有一个只包含单变量的一阶微分方程构成的模型。建立GM(1，1)模型只需一个数列。设原始数据序列为变量x x=[x(1),x(2),…,x(n)] 生成一阶累加生成序列 y=[y(1),y(2),…,y(n)] 其中 公式(1-1) 由于序列y(k)具有指数增长规律，而一阶微分方程的解恰是指数增长形式的解，因此我们可以认为y序列满足下述一阶线性微分方程模型 公式(1-2) 根据导数定义,有 公式(1-3) 若以离散形式表示，微分项可写成 公式(1-4) 其中y值只能取时刻k和k+1的平均值，即。 因此，式(-2)可改写成 公式(1-5) 可推出 将上述结果写成矩阵形式有 (1-6) 简记为 公式(1-7) 上述方程组中，和B为已知量，A为待定参数。由于变量只有a和u两个，而方程个数却有(n-1) 个，而(n-1)2故方程组无解。但可用最小二乘法得到最小二乘近似解。因此 (4-7)可改写为 公式(1-8) 式中E误差项。 欲使 利用矩阵求导公式，可得 (1-9) 将所求得的、代回原来的微分方程，有 (1-10) 解之可得 (1-11) 写成离散形式（令），得下式 (k=0，1， 2…) 公式(1-12) 公式(－11)、式(－12)称为GM(1，1)模型的时间响应函数模型，它是GM(1，1)模型灰色预测的具体计算公式，对此再做累减还原，得原始数列的灰色预测模型 (k=0，1， 2…) 对其进行GM(1，1)灰色预测。 考试次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 语文 108 90 92 100 82 96 103 109 101 数学 123 125 117 134 120 130 118 125 127 英语 85 85 88 90 91 95 95 97 99 物理 110 102 115 92 111 96 119 102 104 综合 102 110 118 112 124 120 126 130 128 用Matlab软件分别计算各科的和的估计量 语文： 1= -0.0230 1= 85.5214 数学： 2= -0.0015 2= 123.5515 英语： 3= -0.0208 3= 83.2571 物理： 4= -0.0017 4= 104.2274 综合： 5= -0.0219 5= 108.4501 MATLAB代码如下： x=[]; y=[]; y(1)=x(1); for i=2:9 y(i)=x(i)+y(i-1); end B=ones(8,2); for j=1:8 B(j,1)=-1/2*(y(j)+y(j+1)); end Yn=[x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(8) x(9)]; A=inv(B*B)*B*Yn; a=A(1,1) b=A(2,1) 则该学生各科成绩GM(1，1)模型的时间响应函数模型为： 数学： 英语： 物理： 综合： 经累减还原 数学： 英语： 物理： 综合： 由此可得与的模型值计算表，如表所示次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 108 197