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[学案54
学案54 直线与圆锥曲线的位置关系
导学目标: 1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想.
自主梳理
1.直线与椭圆的位置关系的判定方法
(1)将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若Δ0,则直线与椭圆________;若Δ=0,则直线与椭圆________;若Δ0,则直线与椭圆________.
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法
将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x),得到一个一元方程ax2+bx+c=0.
若a≠0,当Δ0时,直线与双曲线________;当Δ=0时,直线与双曲线________;当Δ0时,直线与双曲线________.
若a=0时,直线与渐近线平行,与双曲线有________交点.
(3)直线与抛物线位置关系的判定方法
将直线方程与抛物线方程联立,消去y(或x),得到一个一元方程ax2+bx+c=0.
当a≠0,用Δ判定,方法同上.
当a=0时,直线与抛物线的对称轴________,只有________交点.
2.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程
(1)AB是椭圆+=1 (ab0)的一条弦,M(x0,y0)是AB的中点,则kAB=________,kAB·kOM=__________.点差法求弦的斜率的步骤是:
将端点坐标代入方程:+=1,+=1.
两等式对应相减:-+-=0.
分解因式整理:kAB==-=-.
(2)运用类比的手法可以推出:已知AB是双曲线-=1的弦,中点M(x0,y0),则kAB=__________________.已知抛物线y2=2px (p0)的弦AB的中点M(x0,y0),则kAB=____________.
3.弦长公式
直线l:y=kx+b与圆锥曲线C:F(x,y)=0交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
则|AB|=|x1-x2|
=
或|AB|= |y1-y2|= ·.
自我检测
1.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则AKF的面积是( )
A.4 B.3 C.4 D.8
2.(2011·中山调研)与抛物线x2=4y关于直线x+y=0对称的抛物线的焦点坐标是( )
A.(1,0) B.
C.(-1,0) D.
3.(2011·许昌模拟)已知曲线+=1和直线ax+by+1=0 (a、b为非零实数),在同一坐标系中,它们的图形可能是( )
4.(2011·杭州模拟)过点的直线l与抛物线y=-x2交于A、B两点,O为坐标原点,则·的值为( )
A.- B.- C.-4 D.无法确定
探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
变式迁移1 已知抛物线C的方程为x2=y,过A(0,-1),B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是( )
A.(-∞,-1)(1,+∞)
B.
C.(-∞,-2)(2,+∞)
D.(-∞,-)(,+∞)
探究点二 圆锥曲线中的弦长问题
例2 如图所示,直线y=kx+b与椭圆+y2=1交于A、B两点,
记AOB的面积为S.
(1)求在k=0,0b1的条件下,S的最大值;
(2)当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.
变式迁移2 已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线l:y=x+m,若l与椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
探究点三 求参数的范围问题
例3 (2011·开封模拟)直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点,直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求l在y轴上的截距b的取值范围.
变式迁移3 在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围;
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.
函数思想的应用
例 (12分)已知椭圆C的方程为+=1 (ab0),双曲线-=1的两条渐近线为l1,l2,
过椭圆C的右焦点F作直线l,使ll1,又l与l2交于P点,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A,B.
(1)当l1与l2夹角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程及离心率;
(2)求的最大值.
【答题模板】
解 (1)双曲线的渐近线为y=±x,两渐近线夹角为60°
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