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学案54　直线与圆锥曲线的位置关系 导学目标： 1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想． 自主梳理 1．直线与椭圆的位置关系的判定方法 (1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ0，则直线与椭圆________． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法 将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0. 若a≠0，当Δ0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ0时，直线与双曲线________． 若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点． (3)直线与抛物线位置关系的判定方法 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0. 当a≠0，用Δ判定，方法同上． 当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点． 2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程 (1)AB是椭圆＋＝1 (ab0)的一条弦，M(x0，y0)是AB的中点，则kAB＝________，kAB·kOM＝__________.点差法求弦的斜率的步骤是： 将端点坐标代入方程：＋＝1，＋＝1. 两等式对应相减：－＋－＝0. 分解因式整理：kAB＝＝－＝－. (2)运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线－＝1的弦，中点M(x0，y0)，则kAB＝__________________.已知抛物线y2＝2px (p0)的弦AB的中点M(x0，y0)，则kAB＝____________. 3．弦长公式 直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线C：F(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|＝|x1－x2| ＝ 或|AB|＝ |y1－y2|＝ ·. 自我检测 1．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是(　　) A．4 B．3 C．4 D．8 2．(2011·中山调研)与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是(　　) A．(1,0) B. C．(－1,0) D. 3．(2011·许昌模拟)已知曲线＋＝1和直线ax＋by＋1＝0 (a、b为非零实数)，在同一坐标系中，它们的图形可能是(　　) 4．(2011·杭州模拟)过点的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则·的值为(　　) A．－ B．－ C．－4 D．无法确定 探究点一　直线与圆锥曲线的位置关系 例1　k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ 变式迁移1　已知抛物线C的方程为x2＝y，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)(1，＋∞) B. C．(－∞，－2)(2，＋∞) D．(－∞，－)(，＋∞) 探究点二　圆锥曲线中的弦长问题 例2　如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1交于A、B两点， 记AOB的面积为S. (1)求在k＝0,0b1的条件下，S的最大值； (2)当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程． 变式迁移2　已知椭圆的两焦点为F1(－，0)，F2(，0)，离心率e＝. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线l：y＝x＋m，若l与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值． 探究点三　求参数的范围问题 例3　(2011·开封模拟)直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P(－2,0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围． 变式迁移3　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q. (1)求k的取值范围； (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 函数思想的应用 例　(12分)已知椭圆C的方程为＋＝1 (ab0)，双曲线－＝1的两条渐近线为l1，l2， 过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B. (1)当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率； (2)求的最大值． 【答题模板】 解　(1)双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线夹角为60°