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[定积分的概念和性质公式
1.?曲边梯形的面积
设在区间 上 ,则由直线 、 、 及曲线 所围成的图形称为曲边梯形,下面求这个曲边梯形的面积
?????
分割求近似:在区间 中任意插入若干个分点将 分成?n?个小区间
,小区间的长度
在每个小区间 上任取一点 作乘积 ,
求和取极限:则面积 取极限
其中 ,即小区间长度最大者趋于零。
2. 变速直线运动的路程
设某物体作变速直线运动,速度 是 上 的连续函数,且 ,求在这段时间内物体所经过的路程。
分割求近似:在 内插入若干分点 将其分成n?个小区间 ,小区间长度 , 。任取 ,做
求和取极限:则路程 取极限
定义 设函数 在 上有界,在 中任意插入若干个分点
将 分成?n?个小区间 ,其长度为 ,在每个小区间上任取一点 ,作乘积 ,并求和 ,记? ,如果不论对 怎样分法,也不论小区间 上的点 怎样取法,只要当 时,和 总趋于确定的极限,则称这个极限为函数 在区间 上的定积分,记作 ,即
, (*)
其中 叫被积函数, 叫被积表达式, 叫积分变量, 叫积分下限, 叫积分上限, 叫积分区间。 叫积分和式。
说明:
1.?如果(*)式右边极限存在,称 在区间 可积,下面两类函数在区间 可积,(1) 在区间 上连续,则 在 可积。(2) 在区间 上有界且只有有限个间断点,则 在 上可积。
2.?由定义可知,定积分的值只与被积函数和积分区间有关,而与积分变量无关,所以
3.?规定
?? 时 ,
在 上 时, 表示曲线 、两条直线 、 与 轴所围成的曲边梯形的面积;
在 上 时, 表示曲线 、两条直线 、 与 轴所围成的曲边梯形的面积(此时,曲边梯形在 轴的下方);
????
?
例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值
(1) (三角形面积) (2) (半圆面积)
?????????
设 可积
性质1
性质2
性质3 (定积分对区间的可加性) 对任何三个不同的数 ,有
??????
性质4
性质5 如果在区间 上, ,则
推论
性质6 (定积分的估值) 设?M?及?m?分别是函数 在区间 上的最大值及最小值,则
???????
性质7 (定积分中值定理)
如果函数 在区间 上连续,则在 上至少有一点 ,使?? 成立?
例2 比较下面两个积分的大小
????? 与
解 设 ,
在(0,1)内, 单调增
当 时,有 ,即
由性质5,
例3 估计积分 的值
解 只需求出 在区间 上的最大值、最小值即可。设 ,
,令 ,得 ,
所以,在区间 上
由性质6,
设 在区间 上连续, ,则定积分 一定存在,当 在 上变动时,它构成了一个 的函数,称为 的变上限积分函数,记作 即
?
定理 如果函数 在区间 上连续,则积分上限的函数 在 上具有导数,且导数是 ,即
说明:
1.?由原函数的定义知, 是连续函数 的一个原函数,因此,此公式揭示了定积分与原函数之间的联系。
2.?当积分上限的函数是复合函数时,有
更一般的有
例1 (1) , 则: =
????(2) ,则:
?????
????(4) ,则:
? ????(5)设 ,求:
此题中 为函数的自变量, 为定积分的积分变量,因而是两个函数乘积的形式
由求导法则
=
????= +
???(6) =0(因定积分的结果为一常数,故导数为零)
???(7)设 是方程 所确定的函数,求
解 利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有
???????? ????则 =
例2 设 ,求 。
例3 设 为连续函数,(1)若 ,则 ______?,
???? ___?。???????????(2)
例4 求
解 这是 型不定式,用罗必塔法则
????????????????
定理 (牛顿——莱公式)如果函数 是连续函数 在区间
上的一个原函数,则
此公式表明:一个连续函数在区间 上的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增量,此公式也称为微积分基本公式。
例5
解 原式
例6
解 原式
例7 求
解 利用定积分的可加性分段积分,
= + =2
例8
解 被积函数是分段函数,分段点 在积分区间 内,
= + =1/4
例9
解 原式
????????
注意: 是分段函数
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