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第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间上的定积分为 这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x在区间上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在上定义了一个以x为自变量的函数，我们把称为函数在区间上变上限函数 记为 图 5-10 从几何上看，也很显然。因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10） 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s为 图 5-11 另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数，那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数的原函数，再求在区间上的增量即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般方法： 设函数在闭区间上连续，是的一个原函数，即，则 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 图 5-12 二、定积分的性质 设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简单性质： 性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即(A为常数) 性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即 这个性质对有限个函数代数和也成立。 性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即 以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。 性质4 如果将区间分成两个子区间及那么有 这个于区间分成有限个的情形也成立。 下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。 当acb时，从图5-13a可知，由y=f与和x=a x=b及x轴围成的曲边梯形面积: 图 5-13a 图 5-13b  因为所以 即性质4成立。 当abc时，即点c在外，由图5-13b可知， 显然，性质4也成立。 总之，不论c点在内还是外，性质4总是成立的。 例3 求 例 4 求 解 = 例 5 求 解 所以 例 6 求 解 于是， 例 7 设 求 解 因为 所以 = == 例8 火车以v=72km/h的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。设火车以加速度a=-5m/刹车。问从开始刹车到停车，火车走了多少距离？ 解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当 时火车速度 刹车后火车减速行驶。其速度为当火车停住时，速度，故从 解得 于是在这段时间内，火车走过的距离为 = 即在刹车后，火车需走过40m才能停住。 习题 5-2 1 求下列定积分： （1） (2) (3) (4) (5) （6） (7) (8) (9) (10) (11)设 2.求由与直线x=1,x=2及x轴所成的图形的面积。