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实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义 一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 要点诠释： 设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；—P也就是将的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义 一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （1）如果时，则： ①的长度：； ②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向； （2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释： （1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （3）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设为实数，则： （1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理 （1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释： 任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，. （2）平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使. 要点诠释： （1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定. （2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使 . 要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释： （1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得. 要点诠释： （1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量． (2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解. 每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。如图： 从物理学的角度上面的现象是：将一个力分解为不同方向的两个力。 例：1如果向量，是同一平面内的两个不平行向量。已知向量是该平面内的一个非零向量，画出向量在向量，方向上的分向量吗？ 练习：1.已知向量，和， 求作：（1）向量分别在，方向上的分向量。 （2）向量分别在，方向上的分向量。 训练题： 1、计算: (1). _______ (2). _______. (3). =_________.(4). =______. (5) =______ (6). =________. 2、计算:=___________。 3、已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,设,写出向量关于、的分解式____________. 4、如图，在□ABCD中，点F是AB的中点， E点在BC上， 且BC=3BE，设，， 那么向量关于、的分解式为=________。 5、AD是△ABC的中线，G是重心, ,则=_____，____。 6、如图，点D、E在ABC边AB和AC上, DE∥BC, ，设，试用向量表示向量:_________ 7、如图，AB∥CD，且OC:AO=3：4，设，， 那么用、的线性表示为=___________________ 8、已知向量、满足关系式, 用向量、表示向量. 练习： 填空题 若是非零向量，则的方向是 ：当时，与的方向 。 如果两个非零向量满足(是非零实数)，那么和一定是___________；当时，它们是__________的向量；当时，它们是___________的向量 设是非零实数，是非零向量，用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：_______________________________________ 如果是两个不平行的向量，那么叫做的______________________ 对于非零向量，它的长度为，如果把与它同向的单位