[第八章常微分方程数值解法.ppt

由于e0=y(a)-y0=0, 所以有 则有 设?(x,y)连续且关于y满足Lipschitz条件,对于Euler方法,由于?(x,y,h)=?(x,y),故Euler方法是收敛的. 对于改进的Euler方法,由?(x,y)的Lipschitz条件有 |en|?|e0|eL(b-a)+C1hp/L(eL(b-a)-1) |en|?C1hp/L(eL(b-a)-1)=Chp |?(x,y,h)-?(x,y*,h)|?1/2|?(x,y)-?(x,y*)| +1/2|?(x+h,y+h?(x,y))-?(x+h,y*+h?(x,y*))| ?1/2L(1+hL)|y-y*| 则当h?h0时,?关于y满足常数为1/2L(1+h0L)的Lipschitz Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 条件,因此改进的Euler方法是收敛的. 可类似验证各阶R-K方法是收敛的. §4.2 单步方法的稳定性 定义8.2 对于初值问题(8.1),取定步长h,用某个差分方法进行计算时,假设只在一个节点值yn上产生计算误差?,即计算值?yn=yn+?, 如果这个误差引起以后各节点值ym(mn)的变化均不超过? ,则称此差分方法是绝对稳定的. 讨论数值方法的稳定性,通常仅限于典型的试验方程 y?=?y 其中?是复数且Re(?)0. 在复平面上,当方法稳定时要求变量?h的取值范围称为方法的绝对稳定域,它与实轴的交集称为绝对稳定区间. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 将Euler方法应用于方程y?=?y, 得到 设在计算yn时产生误差?n,计算值?yn=yn+?n,则?n将对以后各节点值计算产生影响.记?ym=ym+?m ,m?n,由上式可知误差?m满足方程 ?m=(1+?h)?m-1=…=(1+?h)m-n?n , m?n 对隐式单步方法也可类似讨论.如将梯形公式用于方程y?=?y,则有 yn+1=yn+h/2 ?(yn+yn+1) yn+1=(1+?h)yn 可见,若要|?m||?n|,必须且只须|1+?h|1 ,因此Euler法的绝对稳定域为|1+?h|1,绝对稳定区间是-2Re(?)h0. 解出yn+1得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 类似前面分析,可知绝对稳定区域为 由于Re(?)0,所以此不等式对任意步长h恒成立,这是隐式公式的优点. 一些常用方法的绝对稳定区间为 方 法 Euler方法 梯形方法 改进Euler方法 二阶R-K方法 三阶R-K方法 四阶R-K方法 方法的阶数 1 2 2 2 3 4 稳 定 区 间 (-2 , 0) (-? , 0) (-2 , 0) (-2 , 0) (-2.51 , 0) (-2.78 , 0) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * 第8章 常微分方程数值解法 §1.1 为什么要研究数值解法 一阶常微分方程初值问题的一般形式为 y?=?(x,y) ,a?x?b §1 引言 (8.1)