[第六章马氏链模型-华东理工大学数学建模课件.ppt

数学建模 第九章 马氏链模型 在经济预测中，常常需要由经济系统的近期状态（t=t0）及过去的状态（t=t0-1,t0-2,…t0-k）去预测以后的状态（t=t0+1,t0+2…）。若某一经济系统的变化过程仅与该经济系统的近期状态有关，而与过去状态无关，即该经济系统在t0+1时的状态仅与t0时的状态有关而与t0以前的状态无关，则称这种特性为无后效性或马尔可夫性。具有无后效性的随机时间序列称为马尔可夫过程或马尔可夫链。 马尔可夫过程 可数马氏链 (指变化仅仅发生在一些离散时刻的具有马氏性的一类随机过程) 连续时间马氏过程 (指变化发生是随时间的连续变化而变化,具有马氏性的一类随机过程) 一、可数马氏链模型 仅考虑系统只有有限个状态（I=｛1，2，…，k｝）的情形。 记n时刻系统的状态为Xn ，记Xn =i的概率为ai(n)(状态概率)。从Xn =i变到Xn+1 =j的概率记为pij(n)(状态转移概率)。如果对一切I,j∈I， pij(n)都与n无关，相应的马氏链称为时齐马氏链。 时齐马氏链 记pij(n)= pij，由马氏性和全概率公式得基本方程为 则基本方程写成向量形式可表示为 显然，P 的每一元素均为非负，且其行和为1。（ 称P矩阵为随机矩阵 ） 这里，一旦有了P，那么给定初始状态概率a(0)，就可计算任意时间n的状态概率。 相关定义和相关定理 Def1.一个有k个状态的马氏链如果存在正整数N，使从任意状态i经N次转移都以大于零的概率到达状态j（i,j=1,2,…,k）,则称为正则链。 TH1.若马氏链的转移矩阵为P，则它是正则链的充要条件是：存在正整数n，使得Pn的每个元素均为正。 Def2.一个概率分布 称为马氏链的平稳分布，如果 记 上式可表示为向量形式 Def3.如果记 的元素为 ， 为极限分布。 TH3.对于正则链，设 是其极限分布，则 Def4.设i∈I，若pii=1,称i是吸收态。如果马氏链至少包含一个吸收态，并且从每个非吸收态出发能以正的概率经有限次转移到达某个吸收状态，那么这个马氏链称为吸收链。 TH4.对于吸收链Ｐ的标准形式，Ｉ－Ｑ是可逆矩阵，且其逆矩阵可表示为形式 且(I-Q)-1的第j行之和是从第j个非吸收状态出发被某个吸收状态吸收的平均转移次数。 设i是非吸收态，j是吸收态，记 TH5. Def5.对i，j∈Ｉ，若存在非负整数n，使　　　　，则称自状态i可达状态j。 若　　　　，则称状态i是常返的； 若　　　　，则称状态i是非常返的。 TH6.对i，j∈Ｉ，若状态j是非常返的，则 可数马氏链的应用 定编定岗问题 仓库管理模型 物种保护问题 二、连续时间马氏过程模型 1、生物群体的增长模型 2、传染病的流行模型 1、生物群体的增长模型 关于生物群体增长的常微分方程模型中有两大缺点： ①它假定了群体数目是时间的连续函数，而不是时间的整值函数； ②它假定了群体的增长是确定性的，从而得出了“在初始条件不变时，到时刻t时，群体含量永远相同”的结果。 模型一、纯生过程模型 对于某个生物群体，设在t时刻群体的数量为X(t)，X(t)为一随机变量，并作如下假设。 模型假设 ⑴如果在t时刻群体数量为x（x=0,1,2,..），则在时间段（t,t+Δt）内，群体数量增加一个的概率为λχΔt+0(Δt) 。 ⑵群体数目在（t,t+Δt）增加两个或两个以上的概率为0(Δt）。 ⑶群体数目在（t,t+Δt）内不发生变化的概率为1 -λχΔt+0(Δt) ）。 （以上模型适合于一个微生物群体在良好环境下的增长情况） 模型建立 用px(t)表示t时刻群体数目为x的概率，即px(t)=p(X(t)=x),则有 px(t+Δt)=(1-λxΔt) px(t) +λx-1 px-1(t) Δt+0Δt 移项整理得 其初始条件为 其中 是初始时间生物群体的数目。 （下面假定 ） 补充假设 ⑸增长率λx为x的线性函数，即 模型求解 此时，方程⑵化为 注意到当x=1时 由此，可得递推关系式 从初始条件 11.2 钢琴销售的存贮策略 钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金 一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架 存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。 估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。 背