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第十七章 抽象与概括 第一节 抽象概述与过程 1、抽象概述 抽象是对同类事物抽取其共同的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程。 一般说来，人在思维过程中是把客观事物的某一方面特征与其他特征分别开来给予单独考虑的，当然，还同时要求用概念、范畴、判断、理论等思维形式来固定这种“单独考察”的结果。 实际上，抽象是与具体相对应的概念，具体是事物的多 种规定性的总和，因而抽象亦可理解为由具体事物的多种性质中舍弃了若干性质而固定了另一些性质的思维活动。 抽象对于认识世界有着重要的意义，对数学认识也具有十分重要的意义。 在数学中，抽象可以用于“抽象的产物”、“抽象的过程”和“抽象的方法”等几个意义。 当我们说数学概念、数学理论等深刻地反映着现实世界时，所指的就是抽象的产物、思维结果的抽象； 当我们说由具体的量“抽象”出自然数的概念，由种种距离的测定中抽象出测度的概念时，所指的就是作为过程和方法的抽象。 2、抽象过程 从感性认识出发，通过分析和比较，抽出共同点，撇开差异性的内容和联系，通过综合得出简单的、基本的规定，这就是合理的抽象。 分析、比较和综合是抽象的基础，没有分析、比较和综合，就找不到事物的异同，也不能区分事物的本质属性和非本质属性。 在抽象过程中，分析、比较和综合相互作用、相互渗透，抽象的具体过程也干差万别，但都包括如下基本过程：分离、提纯、简略。 ⑴分离，就是暂时不考虑研究对象与其他各个对象之间的种种联系。分离本身就是一种抽象，这是抽象的第一步。 【例】研究某事物的数学现象，就撇开其物理、化学、生物等现象，确把特定的数学现象从总体现象中抽取出来。 ⑵提纯，就是在思维中排除那些模糊的基本过程以及忽略非本质因素，在纯粹状态下对研究对象的性质和规律进行考察。这是抽象过程中最关键的一步。 ⑶简略就是对提纯结果所作的必要处理，即对研究结果的一种简化表达方式。简略也是一种抽象，而且是抽象过程的一个必要环节。 【例】平行线概念的形成， 观察“黑板相对的两边”、“笔直的两条铁轨”等事物， 撇开它们的不同用途、不同质地的材料、不同的设置、不同的长短等属性， 通过分离，把黑板两边的关系和两条铁轨的关系抽取出来，提纯得到“在同一平面内永不相交”这一本质属性， 简略得到上面的简化表达方式后，最后定性定量地抽象表述为“在同一平面内永不相交的两条直线叫平行线”。 在对事物进行抽象时还要按照以下原则进行： 规则l：只有对具有确定联系的对象，或使分析有意义的对象才能进行比较。 【例】实数与复数在性质上具有确定的联系，可以进行比较；三角形的边长和函数的可导性之间就没有确定的联系，不能进行比较。 规则2；比较应在同一标准下进行。要比较什么由抽象的需要决定，但在一种比较中要按同一标准。 【例】三角形可以比较它的边，也可以比较它的角，也可以同时比较它的边和角，但不能将一个边和一个角来进行比较。 规则3：比较应能按一定的程序进行并在有限步内得出结果。 这一规则保证“比较”能够“有效”的进行。【例】自然数“大小”的比较就是符合这条规则的，它可按下述程序进行： ①位数不同的，位数较多的自然数较大； ②位数相同的，先比较最高位的数，若不等，则大小已判明；若相等，再比较下一位的数是否相等，等等； 因为比较的两个自然数都是有限的，因此这个比较能在有限步内得出结果。 规则4：对同一性质作的比较应在所研究的所有对象间进行，也可以说，要进行完全比较。 【例】对自然数能否被其他数整除作比较，可以发现，有的自然数除了1和其自身外不能被其他自然数整除，有的有两个以上小于其本身的、除1以外的因数。 如果不比较l，那么这个比较就是不完全的。 通过合乎规则的比较，就可以进一步对对象进行分析，根据对象的共同点和不同点把对象分为不同的类。 通过上例，我们可以进一步把自然数分为：1、质数和合数三类。 第二节 数学抽象的特征 数学抽象有以下特征： ⑴数学抽象具有无物质性 数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。 ⑵数学抽象具有层次性 数学概念是数学抽象的结果，但是不同的数学概念又表现出数学抽象的层次性。 【例】自然数概念是从客观事物中抽象出来的，字母a表示的数是在对数的抽象后的结果。 如a=bq，(a，b，q∈z)就是对许多具体的整数的整除性的抽象的结果。 如果说数的抽象是一级抽象，那么字母表示的数的抽象就是二级抽象，进而还有三级、四级抽象，等等。 ⑶数学抽象过程要凭借分析或直觉。 在数学