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x5j0sxa409aa01 巧用等底等高的关系求图形的面积 孟桂民 一、知识基础 在我们以前的学习中，我们掌握了许多基本图形的面积计算方法，请同学们观察，下图中哪些图形的面积相等？为什么？ 已知（单位：厘米） 从图中我们看出 因为△ABC和△ABD及△ABE等底等高所以它们的面积相等，同理平行四边形HGFI和平行四边形FGJK等底等高所以它们的面积也相等。 而平行四边形FGHI和三角形ABC等底等底，所以平行四边形的面积是三角形面积的2倍。 从这个练习我们得到：如果两个或几个三角形底相等，高也相等，那么这几个三角形的面积也相等。 下面还有一组图形请同学们观察，下面几个三角形面积之间有什么关系？为什么？（单位：厘米） 从观察我们看出①图1的三角形面积和图2的三角形面积相等，因为这两个三角形等底等高所以它们的面积相等。 ②图3的三角形面积是图1的三角形面积的2倍，因为图3的三角形和图1的三角形高相等，图3三角形的底是图1三角形底的2倍，根据三角形面积计算公式得到：图3的三角形面积是图1三角形面积的2倍。 ③图4的三角形面积也是图1三角形面积的2倍，因为两个三角形的底相等，图4三角形的高是图1三角形高的2倍，所以根据三角形面积的计算公式得到，图4的三角形面积是图1三角形面积的2倍，从这个练习我们又发现： 如果两个三角形的底（或高）的长度相等，那么这两个三角形高（或底）的比就是这两个三角形面积的比。 用上面这些关系我们可以解答一些较复杂的求图面积的题。 二、方法例谈 学校有一块三角形的植物园地，生动小组同学想把这块地等分成4份，以便种植四种不同的花籽进行实验，怎么分呢？于是他们请数学小组同学帮助，下面是数学小组同学们提出的一些分配方案，请你们帮助分析一下，他们的分配方案都正确吗？ ①把底边BC等边四份，再分别和A点连接成四个三角形， 这种分配方案你认为正确吗？这种分配方案正确，因为把底边BC等分四份，这时四个三角形故底相等，又都以A点为顶点，所以它们的高也相等。 因为底等高等，所以这四个三角形的面积相等。 ②已知D是BC的中点，F是AB的中点E是AC的中点 请你们自己分析一下，这种分配方案正确吗？ 通过分析我们得到：这种分配方案正确，因为D是BC的中点，所以又∵F是AB的中点∴E是AC的中点∴ ∴所以分配方案正确 ③已知D是BC的中点，F是AB的中点，E是AC的中点，你认为这种分配方案正确吗？为什么？ 这种方案正确，因为EF分别为AC、AB的中点，所FE一定//BC并且FE的长度等于BC长度的一半，而D是BC的中点，所以BD=DC=FE 又∵FE//BC且F、E为两边的中点，所以四个三角形的高相等。 因为四个三角形的底相等，高也相等，所以它们的面积相等，下面还有一些分配方案，你认为它们都正确吗？ ④D为BC的中点；E为AD的中点 ⑤D为BC的中点； E为DC的中点； F为AD的中点 BD= EC= F是AD的中点 通过分析我们知道：这三种分配方案都正确，你还能想出其它的分配方案吗？请你也试着分一分吧！ 刚才我们运用三角形等底等高的关系，解决了生活中的实际问题，运用这种关系，我们还可解决许多生活中的问题 三、题解变析，解决问题 例1根据实际需要，生动小组同学把三角形植物园地划分成甲、乙两部分，你能根据它们的关系，说出乙的面积是甲面积的几倍？请看图（单位：米） 从图中我们很难发现解题思路，但如何我们连接DC就可以把乙分解成两个三角形，这样再解答就比较简单了。 所以解题时先连接DC因为EC=9 AE=3 ∴EC长度是AE长度的3倍 又因为三角形AED和三角形EDC都以D点为顶点，所以它们的高相等 所以 又∵D是AB的中点，C为三角形BCD和三角形ACD的顶点，所以这两个三角形等底等高，面积相等。 ∴ ∴乙的面积 ∴乙的面积是甲面积的7倍。 从上面例题我们看出：在奇妙的几何世界里，几何图形多种多样，变化万千，许多问题，只靠原图形上已有的线段很难发现解题思路，需要添加一些辅助线，如例1中添加了DC这条线段，这样就在图形与图形之中，架起“桥梁”，使我们才能发现图形之间的关系，进而正确解题。 例2（见图）一个平行四边形的一边长15厘米，这条边上高为6厘米，用一条线段将此平行四边形分成了两部分，它们的面积相差18平方厘米，那么其中梯形的上底是多少厘米？ 解答这个题时，如果我们直接求梯形的上底我们很难解决问题，因为原图形是一个平行四边形，那么我们不妨利用等底等高的关系来解题，所以可以添加一条辅助线过平行四边形的顶点A做EC的平行线，交BC为F点，∴AE=FC ED=BF 所以（三角