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§11-3 幂 级 数 一、函数项级数的概念 1.定义 设函数列 表达式： 称为定义在上的(函数项)(无穷)级数 如: 2. 收敛性 ，(1)成为常数项级数可能收敛可能发散．若收敛，称是 (1)的收敛点；若发散，称点是 (1)的发散点.收敛域：收敛点的全体；发散域：发散点的全体. 3.和函数 ，收敛域 ：函数项级数(1)的前项和，则在收敛域上有 ：函数项级数的余项(只有在收敛域上才有意义)，有 和函数 二、幂级数及其收敛性 1．定义 其中常数：幂级数的系数．例如，等等。 取 2．收敛性 定理1(阿贝尔(Abel)定理)如果级数当时收敛，则适合不等式的一切x使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数当时发散，则适合不等式的一切x，使这幂级数发散． 分析：(1)设级数收敛,由级数收敛的必要条件有,于是，使得 这样级数(3)的一般项的绝对值 由等比级数的敛散性知时,收敛，即绝对收敛． (2)反证法． 注1 由TH1知，若幂级数在处收敛，则，都收敛；若在处发散，则对于 外的任何，都发散． 几何说明： 推论 如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数存在，使得 当时，幂级数绝对收敛； 当时，幂级数发散； 当与时，幂级数可能收敛也可能发散． 3．收敛半径和收敛区间 ：幂级数(3)的收敛半径．幵区间叫做幂级数(3)的收敛区间。由处的收敛性可决定它的收敛域是或之一.特殊情形：，（这时收敛区间是）。 定理2 如果 其中是的相邻两项的系数．则这幂级数的收敛半径 例1 求幂级数的收敛半径与收敛区间 (1) 解 ? 故收敛半径为? 因为当时? 幂级数成为? 是发散的? 当时? 幂级数成为? 也是发散的? 所以收敛域为(?3? 3)? (2) 收敛区间是 (3) 缺少偶次幂的项 定理2不能直接应用，比值审敛法求R , ;, 收敛区间是 (4) 令，上述级数变为 收敛区间为 三、幂级数的运算 1．四则运算 设和 分别在及内收敛， （1）加减法 在及中较小的区间内成立. （2）乘法（两幂级数的柯西乘积） 可以证明上式在与中较小的区间内成立． （3）除法： 这里设为决定系数可将与与相乘，并令乘积中各项的系数分别等于级数中同次幂的系数，即得： 由这些方程就可以顺序地求出 相除后所得的收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多． 2.幂级数的和函数性质 性质1 幂级数和函数在其收敛域上连续. 性质2 在区间内是可导的.且有逐项求导公式 其中，逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 反复应用上述结论 ： 在收敛区间内具有任意阶导数． 性质3 在区间内是可积的.且有逐项积分公式 其中，逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。 例2 求下列幂级数的和函数 (1)在区间内求幂级数的和函数 解 设和函数 显然 并由 当时,有.从而 由幂级数的和函数的连续性可知，和函数在处是连续的． 可验证：. 求和函数经常与求等比级数的和相联系,一般： 遂项积分化为等比级数求和,再遂项求导得和函数; 遂项求导化为等比级数求和,再遂项积分得函数; 练习： 小结：本节介绍了幂级数的概念、收敛半径和收敛区间的求法，会利用幂级数的分析性质求其和函数. 5