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幂零矩阵性质及应用 数本041 严益水 学号：410401109 摘要： 幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。它具有一些很好的性质。本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。 关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 预备知识 （下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》　李师正　　高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社） 一些概念 令A为阶方阵，若存在正整数，使，A称为幂零矩阵。 若A为幂零矩阵，满足的最小正整数称为A的幂零指数。 设，称为A的转置， 称为A的伴随矩阵。 其中为A中元素的代数余子式 设A为一个阶方阵，A的主对角线上所有元素的和称为A的迹，记为。 主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。 形为 的矩阵称为若当块，其中为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。 称为矩阵A的特征多项式。满足的的值称为矩阵A的特征值。 次数最低的首项系数为1的以A为根的多项式称为A的最小多项式。 （二）、一些引理 引理1：设A，B为阶方阵，则 引理2：分别为矩阵A的特征多项式和最小多项式，则有。 引理3：每一个阶的复矩阵A都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形。 引理4：若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。 引理5：阶复矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A和最小多项式无重根。 引理6：相似矩阵具有相同的特征值。 引理7：设为阶矩阵A的特征值，则有，，且对任意的多项式有的特征值为。 引理8：阶若当块的最小多项式为且有。 引理9：矩阵匠最小多项式就是矩阵A的最后一个不变因子。 引理10：A，B为阶复数域上的矩阵，若，则存在可逆矩阵T，使得。 引理11：任意阶A，B方阵，有。 幂零矩阵的性质 （下面的性质来自《高等代数解题方法与技巧》　李师正　高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社、《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社、《关于幂零矩阵性质的探讨》 谷国梁 铜陵财经专科学校学报、《幂零矩阵的性质及应用》 韩道兰 罗雁 黄宗文 玉林师范学院学报并综合归纳得出关于幂零矩阵的十一条性质） 性质1：A为幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为0。 证明： 为幂零矩阵 令为A任意一个特征值，则 由引理7知，为的特征值 从而有=0即有 又有，知 为A的特征值。 由的任意性知，A的特征值为0。 的特征值全为0 的特征多项式为 由引理2知， 所以A为幂零矩阵。 得证 性质2：A为幂零矩阵的充分必要条件为。 证明：为幂零矩阵，由性质1，知： A的特征值全为0 即 由引理7，知 的特征值为 从而有 由已知， 令为A的不为0的特征值 且互不相同重数为 由（1.1）式及引理7，得方程组 由于方程组（1.2）的系数行列式为 又互不相同且不为0， 从而知，方程（1.2）只有0解，即 即A没有非零的特征值 的特征值全为0， 由性质1，得 A为幂零矩阵 得证 性质3：若A为幂零矩阵，则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块，且J和主对角线上的元素为0 证明：A为幂零矩阵， 由性质1，知 A的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T，使得 其中阶数为 由引理4，知为J和特征值 又A与J相似，由引理6，知A与J有相同的特征值 所以 即J的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 为幂零矩阵 得证 性质4：若A为幂零矩阵，则A一定不可逆但有 证明：为幂零矩阵，