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方程思想在数学中的应用（中考导刊） （四川）陈孝方 数学思想方法是数学的本质之所在，是数学的精髓。日本著名数学教育家米山国藏，作为一个教育家他深深感到，许多在学校学的数学知识，如果毕业后进入社会没有什么机会去用的话，不到一年就忘掉了，“然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻在头脑中的数学精神、数学思想方法、研究方法、推理方法，却随时随地的发生作用，使他们终身受益”。 如果把数学思想和方法学好了，在数学思想方法的指导下解决数学问题，数学学起来就较容易。 方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解的思维方式。有时，还实现函数与方程的互相转化。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的；不等式问题也与方程是近亲，密切相关 用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用，教材中大量出现这种思想方法，如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等 一 方程思想与函数的结合 方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法，都是通过建立相等关系，求出未知数的值，因此函数问题的关键就是找出相等关系，建立变量之间的等量关系求解，要求对变量所涉及的相关知识要比较熟练，这是轻松求解函数问题的必要基础。 此类问题常见的形式和解题方法是：①用待定系数法列出关于函数解析中待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出特定系数的值；②将函数图象与坐标轴交点坐标与方程的根对应起来；③利用函数研究方程的根与系数之间的关系；④利用函数图象交点的坐标与方程组的解之间的关系及根与系数关系解题。 经典例题 如图，设直线y＝-x＋b（b＞0）与开口向上的抛物线y＝ax2相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），与x轴相交于C（x3，0），与y轴相交手点D．（1）求证：+=，y1y2＝b2；（2）当B为DC的中点时，求ab的值；（3）取a＝1，当 AD∶DB＝2∶1时，求b的值． 解 （1）证明：∵A、B是直线y=-x+b与抛物线的交点， ∴（x1，y1），（x2，y2）是方程组的解， 故x1，x2是方程ax2+x-b＝0的两根，由根与系数的关系得： x1+x2= -, x1·x2= -, 又直线y＝-x＋b与x轴交于点C（x3，0）， ∴x3＝b， ∴+== -/-==； y1y2=ax12·ax22=a2·(x1·x2)2=a2·(-)2=b2. （2）作BE⊥x轴于E，∵DB=BC, ∴OD=BE,OE=OC， ∵D(0,b),C(b,0)∴B(b, b). 又点B在抛物线y＝ax2上， ∴b＝a·（b）2ab＝2． （3）过A点作AF⊥x轴于F，∵AD∶DB＝2：1，∴OF∶OE＝2∶1． ∴x1∶x2＝-2∶1， 又x1+x2= -= -1. ∴x1= -2,x2=1, ∴b=-x1·x2=2。 点评：这道试题是函数与方程的充分结合，建立等量关系是解这类问题的关键。 练习.已知抛物线y=x2+kx+1与x轴的两　个交点A,B都在原点右侧，顶点是C，△ABC是等腰直角三角形。求证：（1）AB=；(2)求k的值。 二 方程思想与解直角三角形 解直角三角形是介于代数与几何之间的一部分内容，是充分体现数形结合的典型，这部分更应该建立相等关系，建立方程求出未知数的值，解题的主要方法：（1）利用勾股定理建立方程 （2）利用三角函数建立等量关系， （3）利用图形的性质建立等量关系 。 经典例题 （2006，南京）如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以18海里/时的速度驶离港口，现两船同时出发， （1）出发后几小时两船与港口P的距离相等？ （2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？（结果精确到0.1小时） （参考数据：≈1.41，≈1.73） 解：（1）设出发后x小时时两船与港口P的距离相等． 根据题意，得81-9x=18x， 解这个方程，得x=3． ∴出发后3小时两船与港口P的距离相等． （2）如图，设出发后x小时乙船在甲船的正东方向，此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处，连结CD．过点P作PE⊥CD，垂足为E