[无理数定义及其研究.doc

存档编号_ _______ 赣南师范学院科技学院学士学位论文 无理数定义及其比较研究 系 别 数学与信息科学系 届 别 2014届 专 业 数学与应用数学 学 号 1020151208 姓 名 ××× 指导老师 ××× 完成日期 2014年4月 目录 内容摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Key words 1 1引言 2 2 无理数的定义 2 2.1戴得金分割定义 3 2.2柯西基本序列定义 4 2.3有理区间套定义 5 2.4十进制小数定义 6 2.5有界单调有理数列定义 9 3无理数定义对比研究 10 3.1无理数定义的异同点 10 3.2无理数定义的优缺点 11 3.3无理数定义的等价性 11 参考文献 14 内容摘要：无理数是有理数域扩充到实数域的重要内容，也是贯穿在我们中学及大学学习过程的重要内容。只有完全了解无理数，才能更好地掌握无理数的定义。本文主要谈及无理数的各种定义，并且对于这些定义作出对比及研究。通过对无理数定义的不断比较研究，发现这些定义有着我们意想不到的地方。找到无理数的定义之后，接下来就去探索定义对于中学生的影响。 关键词：无理数 定义 研究 Abstract: irrational number is a rational number domain extension to the important content of the real number, is run through our secondary and university education an important part of the learning process. Only fully understand irrational numbers, in order to better grasp the definition of irrational numbers. This concerns mainly the various definitions of the irrational number, and these definitions for comparison and study. Continually through the definition of the irrational number a comparative study, found that those definitions had never imagined. After you find the definition of the irrational number, next to explore the definition of influence of middle school students. Key words：irrational number definition study 1 引言 1．1研究意义 无理数是有理数系扩展到实数系的重要内容，在实数系中起着重要的枢纽地位。我国的全日制义务教育数学课程标准(实验稿)指出:1、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。2、能用有理数估计一个无理数的大致范围。可以知道无理数是中学数学教学的重要内容之一。所以无理数的定义是一个必不可少的研究领域。 1.2无理数的发展历史 公元前500年，古毕达哥拉斯学派的弟子发现了一个惊人的事实，一个正方形与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”（指）的哲理大相径庭的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上持续2000多年的第一次大危机。形式上不同的实数理论也就因确定空隙的方法不同而互相区分，