[无穷乘积的基本内容与性质的证明.doc

目 录 一.论文题目 …………………………………………………………………… 1 二．中文摘要 …………………………………………………………………… 1 三．中文关键词 ………………………………………………………………… 1 四．基本内容 …………………………………………………………………… 1 五．无穷乘积的性质 …………………………………………………………… 2 六．无穷乘积收敛的判别定 ……………………………………………………… 3 七．例题 …………………………………………………………………………… 6 八．英文摘要 …………………………………………………………………… 10 九．英文关键词 ………………………………………………………………… 10 十．参考文献 ……………………………………………………………………… 10 无穷乘积的基本内容与性质的证明 作者：王圣杰 学号：200411010 数学科学学院、数学与应用数学、2004级（1）班 指导教师：斯钦 摘要：本文叙述了无穷乘积的定义及一些基本性质，并且依据无穷乘积与级数的关系以及有关级数理论,对任意项无穷乘积的敛散性包括绝对收敛、进行讨论,并给出了几种敛散性判别法.最后，文章列举了一些有代表性的例题，欧拉公式是非常重要的，特别是欧拉当时的思维过程。 关键词：数列，无穷乘积，收敛 基本内容 定义1：对于一个数列 将这一列数连乘起来，用记号∏表示如下： 称为无穷乘积。其中，。 如果将数列中前n个数连乘起来，得 则称为部分乘积。令n=1,2,3, …,就得到部分乘积的序列 对于这个数列，只可能有三种情形： （ⅰ）存在非零的有穷极限； （ⅱ）极限为零； （ⅲ）发散，即不趋向任何有穷极限。 在第（ⅰ）种情形下，称无穷乘积为收敛的，并称P为这个乘积的值，记为 而在第（ⅱ）种和第（ⅲ）种情形下，称这个无穷乘积为发散的。我们也采用简化记号 。 这里要指出，将的情况称为无穷乘积发散（于0）完全是为了便于和无穷级数的结果对应起来，而并不是这种情况没有价值或没有意义。 定义2：设 （）是任意项无穷乘积 若级数 收敛，则称无穷乘积 绝对收敛； 若级数 收敛，而级数 发散，则称无穷乘积 条件收敛； 在一个无穷乘积中，只要有一个因数为零，那么就得部分乘积序列的极限为零，所以在无穷乘积的讨论中总是恒定 （）。 二.无穷乘积的性质 与无穷级数的通项趋于0是收敛的必要条件一样，有下面的 性质1：当无穷乘积收敛时，其通项必收敛于 1 。 证明： 。 因此，总可以假设从某个n起。为方便起见，将改记为，将无穷乘积改记为，并假设，（） 性质2：若无穷乘积收敛，记 ，它与无穷级数的余项相似，称为余乘积。则 证明 三.无穷乘积收敛的判别定理 定理1：无穷乘积 收敛的充分必要条件是级数 收敛。 证明：先证必要性，以 表示级数 的部分和， 假设，以 表示级数 的部分和，即有 ===，再由对数函数的连续性： === ，所以 级数 收敛，且收敛于 ； 再证充分性，假设级数 收敛于有限极限 L，即 则由= 知 ， 又由指数函数的连续性，有 所以级数 收敛，且收敛于 ；并且由上面的证明知道 。 定理2： 若从某个n起，则无穷乘积 收敛的充 分必要条件是级数 收敛。（若该级数发散，则无穷乘积为 。） 证明： 必要性 由 收敛，得知 以及同号级数 收敛。又由 按比较别法得 收敛。 充分性 由 收敛及级数收敛的必要条件得又由 故 收敛，由定理1即知 收敛。 若级数 发散，由 知级数 也发散，且发散到 ，而.由 及对数函数的连续性知 定理3： 若从某个n起，则无穷乘积 收 敛的充分必要条件是级数 收敛。（若该级数发散，则无穷乘积为 0 。） 证明：必要性 由 收敛，得知 以及同号级数 收敛。又由 按比较别法得 收敛。 充分性 由 收敛及级数收敛的必要条件得又由 故 收敛，由定理1即知 收敛。 若级数 发散，由 知级数 也发散，且发散到 ，而.由 及对数函数的连续性知 定理4： 若变号，但已知级数 收敛，则当级数 收敛时无穷乘积收敛，当级数 发散时无穷乘积发散于零 证明 由于 收敛，，于是有 由已知收敛，按比较判别法，正项级数 收敛。再由已知条件 收敛，得收敛。这样就证明了 收敛 。 由于 收敛，，于是有 由已知发散，且发散到，按比较判别法，正项级数发散，且发散到。再由已知条件 收敛，