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第九章. 矩阵特征值和特征向量计算 §1. 幂法和反幂法.一、幂法 两种特殊情况 幂法小结 二、幂法的加速 三、反幂法 反幂法的一个应用 §2.Jacobi方法 一、矩阵的旋转变换 二、 Jacobi方法 §3.QR方法一、基本QR方法 二、豪斯豪尔德(Householder)变换 三、化一般矩阵为拟上三角阵 四、拟上三角矩阵的QR分解 五、带原点移位的QR方法 基本理论：Lagrange，Newyor型基函数，分 段插值公式样条插值构造方法。 作用区别，算法、误差公式 （理解与应用） 拟合方法的正交多项式系的概念。 DFT与FFT的构成，公式与算法。 数值积分：几何意义，基本公式，算法，误差。 Romberg求积法的理论依据与算法。 理论：列主元Gauss消元法、矩阵表示与计算量 理论：二分法的条件与收敛速度。 一般迭代，Newton迭代、Aitken方法、 理论依据与算法。 方程组求解 Newton 法与最速下降法基本理论。  常微分方程Euler 方法的理论解释、收敛性。 数值稳定性概念与分析方法。 Runge-Katta 方法 的算法产生与稳定性分 析。 方程组的 R-K 算法公式。 LU分解算法与用途。 向量范数与矩阵范数。 迭代方法的统一表示与松弛法 收敛性定理与误差估计 幂法逆幂法理论与算法。 降阶与加速 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。实矩阵、非奇异。 理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时，分解是唯一的。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序列｛A(k)｝ “基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果A是实对称阵，则 ｛A(k)｝ “基本”收敛于对角矩阵。 因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当k充分大时， A(k)的主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为A的特征值的近似。 基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分解，分解的方法有多种。介绍一种Schmit正交化方法为例。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一系列相似变换将A化成拟上三角矩阵（称为上Hessenberg矩阵），然后对此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，故可减少运算量。化A为相似的拟上三角阵的方法有多种。 Eva