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第九章傅立叶变换与频域分析 傅立叶变换的意义 把一个无论多复杂的输入信号分解成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能通过图9.1的关系表达成相同复指数信号的线性组合，并且在输出中的每一个频率的复指数函数上乘以系统在那个频率的频率响应值。 一个域离散必然另外一个域周期，相反的，如果一个域连续必然另外一个域是非周期的。 第二节 快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform） FFT是对计算DFT的快速算法的总称，FFT算法很多，最经典的一种就是库利－图基算法，包括基于时间抽选和频率抽选的以二为基底的FFT算法；由以二为基底发展了任意基数的FFT算法。 设序列的长度N＝2m，其中m为正整数，如果不满足该条件，可以通过补零方法来达到该条件。既然点长为偶数，就先把序列分成两组，偶数项为一组，奇数项为一组，分别用两个序列来表示： (9-1) 则N点DFT运算也相应分为两组： 根据的可约性，有 ，上式变成： 将式（9-4）用信号流图表示，如图9-2，左边表示输入，右边表示输出，支路上的箭头表示乘法运算，乘的因子只对有相位变换而没有幅度变换，所以被称为旋转因子，由于此图像蝴蝶，故称为蝶形运算。一个蝶形运算只包括一次复数乘法、两次复数加法。 第五节 频域分辨率和谱图表示 利用离散傅立叶变换进行频谱分析时会引起误差，常见的就是由于离散傅立叶变换本身采样和截断过程所引起的混叠、泄漏、栅栏现象等。如果要分析的信号是连续信号，就必须先采样.当采样频谱比信号最高频率的两倍要小,发生混叠现象 ,可以提高采样率来避免混叠现象。 如果要分析的信号是周期连续信号，就必须要对该信号截取一段来进行分析，即加了一个窗，便会发生泄漏现象，减少泄漏可以通过加不同的窗函数来截取信号. 谢谢! * 例如k＝5表示信号的复指数频率分量 为的初相位为 .这些和信号 的相位信息相符合，但是没有给出该信号的幅度信息。由于相位谱的奇对称性，往往只画出一半即可以得到另外一半的图形。 图2.7 信号的相位谱 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * 3.功率谱 信号 的离散傅利叶变换 一般是一个复数， 与其共轭 之积称为自功率谱，简称自谱或功率谱。其他文献多叫功率谱密度（函数）,其表示为： (2-33) 系数1/N是为了满足式能量定理而进行的调整。 反映的是信号的功率密度，在图形上与幅度谱类似，只是大小不同，功率谱不含相位信息，所以由功率谱不能恢复原始信号，因为存在多义性。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * 可以证明，线性自相关函数和功率谱是一对离散时间傅立叶变换对（DTFT），相应的循环自相关函数和功率谱是一对离散傅立叶变换对（DFT），考虑序列 可能是复数，由于实际得到的 是一段样本序列，因而它的自相关利用第三章的定义式（3-21），因而： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * 功率谱是正、实序列。当 是实序列时，自相关序列也是实序列，则功率谱是偶对称的。从功率谱和自相关函数之间的关系，我们知道功率谱蕴涵着集合统计的实质，一个随机信号的自相关和功率谱都表达了随机信号的统计平均特性。 同样，可以给出两个信号之间的互功率谱的定义： 【例2-8】画出例题2-6的功率谱并解释该图。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. * 解：由例题2-6知 因此功率谱如图