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第十一章 方差分析 方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”或“F检验”，是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。 1 单因素方差分析 实际生活中，经常碰到这样的问题：影响产品质量、销售量、工资收入的因素很多，但必须找出对产品质量、销售量影响的显著因素。为此，我们进行试验，根据试验数据进行方差分析，即可鉴别各个因素对试验效果的影响。 为了分析某一个因素A对所考察的随机变量X的影响，我们可以在实验时使其他因素保持不变，而只让因素A改变，这样的实验叫做单因素使用，因素A所处的状态叫做水平。因素又称因子。 我们关心各个水平下，随机变量的均值是否有显著差异。 H0：μ1=μ2=μ3=…=μr,μi=μ 例 为了寻求适应本地区的高产油菜品种，今选了五个不同品种进行试验，每一个品种在四块地上试种，得到每一块土地的亩产量如下： 问不同品种的平均亩产量有无显著差异？ 下面采用Excel求解 例 在心理疾病治疗的实例中，研究人员随机选择了6为忧郁症患者，并对这些患者使用了3种治疗方法：行为改变、认知改变和安慰剂，经过一段时间的治疗后，测其犹豫状的强度如下： 问：这3种治疗方法是否存在显著性差异？ 2 双因素方差分析 在许多实际问题中，往往不能只考虑一个因素的各水平的影响，必须同时考虑几种因素的相互影响。研究两种因素对试验指标的影响称为双因素方差分析，即水平分为Ai和Bi。 双因素方差分析又分为无重复试验双因素方差分析和重复试验双因素方差分析。 与单因素方差分析类似，双因素方差分析的零假设： H01:各区组总体均值相等； 或 H02:各处理组总体均值相等； 备择假设：H11:各区组总体均值不相等； 或 H12:各处理组总体均值相等； 2.1无重复双因素方差分析 例 某食品公司向了解巧克力包装颜色（黑色、白色、咖啡色）与原料（纯巧克力、加牛奶巧克力、加榛子巧克力）对销售的影响，已销售1200盒巧克力的销售数据如下表： 请判断包装颜色和原料对巧克力的销售是否有显著影响。 此处行P值大于0.05，因此接受原假设，即不同原料的巧克力销售均值相等。 列P值也大于显著水平0.05，接受原假设。 无交互影响双因素方差分析 2.2有重复试验的双因素方差分析 假设检验： H01:A因素各组总体均值相同- H11:A因素各组总体均值不相同； H02:B因素各组总体均值相同- H12:B因素各组总体均值不相同； H03:A因素与B因素无交互作用- H13:A因素与B因素有交互作用。 例 研究人员随机选择了6位忧郁症患者，并对这些患者使用了3种治疗方法：行为改变、认知改变和安慰剂，并在白天和晚上分别进行治疗。经过一段时间的治疗后，测其忧郁状的强度如下： 请判断不同的治疗方法是否有显著差异，不同的治疗时间是否对治疗效果有显著差异，治疗方法与治疗时间是否有相互作用。 行（样本）中的P值显著水平0.05，故拒绝H0,认为不同时间、不同治疗方法效果的均值存在差异； 列中的P值显著水平0.05，故拒绝H0,认为不同治疗方法效果的均值存在差异； 交互作用P值=0.10显著水平0.05，认为不同时间和不同治疗方法交互作用差异不显著。 * 数学与信息科学学院 王 坤 TELfellowang@163.com 统计学概念和方法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 假设因素A有不同水平A1，A2,A3，…，Ai,各个水平Ai对应的总体服从正态分布N(μi,σ2),在水平Ai进行ni次试验，假定所有试验都是独立的，设得到的样本观测值如下表所示： 水平 观 测 值 A1 X11 X21 … x1n A2 x12 x22 … x2n … … … … Ai X1i X2i … xin Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET