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[期望、方差、平均差学生
【知识回顾】数学期望(均值),方差、标准差
1平均数的计算方法
(1)如果有n个数据x1,x2,…,xn,那么=(x1+x2+…+xn)叫做这n个数据的平均数,读作“x拔”
(2)当一组数据x1,x2,…,xn的各个数值较大时,可将各数据同时减去一个适当的常数a,得到x1′=x1-a,x2′=x2-a,…,xn′=xn-a,那么,= +a
(3)加权平均数:如果在n个数据中,x1出现f1次,x2出现f2次,…,xk出现fk次(f1+f2+…+fk=n),那么
=
2方差的计算方法
(1)对于一组数据x1,x2,…,xn,
s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
叫做这组数据的方差,而s叫做标准差
(2)方差公式: s2=[(x12+x22+…+xn2)-n2]
(3)当一组数据x1,x2,…,xn中的各数较大时,可以将各数据减去一个适当的常数a,得到x1′=x1-a,x2′=x2-a,…,xn′=xn-a
则s2=[(x1′2+x2′2+…+xn′2)-n]
3数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 …… 为ξ的数学期望,简称期望.
4 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平
5 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令…,则有…,…,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
6 期望的一个性质:
若(a、b是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,它们的分布列为
ξ x1 x2 … xn … η … … P p1 p2 … pn … 于是……
=……)……)
=,
由此,我们得到了期望的一个性质:
7 方差:
=++…++….
衡量数据波动大小的量方差越大数据波动越大
8 标准差:
的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差,记作.
9方差的性质:
;
10二项分布的期望:
二项分布:ξ~B(n,p),并记=b(k;n,p).
ξ 0 1 … k … n P … … Eξ=np, np(1-p)
证明如下:
∵ ,
∴ 0×+1×+2×+…+k×+…+n×.
又∵ ,
∴ ++…++…+.
故 若ξ~B(n,p),则np.
11几何分布的期望和方差:
几何分布: g(k,p)= ,其中k=0,1,2,…, .
ξ 1 2 3 … k … P … …
令
,
如:某射击手击中目标的概率为p求从射击开始到击中目标所需次数的期望、方差就是 ,
【基本训练】
1、 是x1,x2,…,x100的平均数,a是x1,x2,…,x40的平均数,b是x41,x42,…,x100的平均数,则下列各式正确的是
A= B= C=a+b D=
2、 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出两个,则其中含红球个数的数学期望是_____________
3、 甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t / hm2)
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 98 99 101 10 102 乙 94 103 108 97 98 其中产量比较稳定的小麦品种是
4、口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以表示取出球的最大号码,则( )
A.4; B.5; C.4.5; D.4.75
5、篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分,罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求
⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望;
⑵他罚球2次的得分η的数学期望;
⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望.
6、设有m升水,其中含有大肠杆菌n个.今取水1升进行化验,设其中含有大肠杆菌的个数为ξ,求ξ的数学期望.
7、一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球,从中同时取出2个,则其中含红球个数的数学期望是 (用数字作答)
8、对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试,测得他们最大速度的数据如下:
27,38,30,37,35,31;
33,29,38,34,28,36
,,且和的分布列为:
0 1 2 0 1 2 试比较这两名工人谁的技术水平更高
10、若随机事件A在1次实验中发生的概率为,用随机变量表示A在1次实验中发生的次数
①求方差的最大值;②求的最大值
11、随机变量,则
2已知某离散型随机变量的数学期望,的分布列如下:
0 1 2 3 则
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