[期望与方差、正态分布——教.doc

随机事件的期望与方差及正态分布 【知识梳理，考点分析】 1、离散型随机变量的均值与方差的概念 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)期望：称E(X)＝_____________________为随机变量X的均值或，它反映了离散型随机变量取值的(2)方差：称D(X)＝____________________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的________________，其算术平方根为随机变量X的标准差． 2离散型随机变量的均值与方差的性质 E(aX＋b)＝，D(aX＋b)＝． 3、几个重要分布的均值和方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝，D(X)＝； (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝，D(X)＝； (3)若X服从超几何分布P(X＝k)＝，则E(X)＝ 正态曲线与正态分布 正态曲线：如果一条曲线就是(或近似地是)下列函数的图象：φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态分布：如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量x满足P(a＜x≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称x服从正态分布，记为x～N(μ，σ2)．5、正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，______________；(2)曲线是单峰的，它关于______________； (3)曲线在x＝μ处达到峰值__________； (4)曲线与x轴之间的面积为____； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿______平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由____确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越______；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越______． 63σ原则 (1)3σ原则的含义：在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取__________________之间的值，并简称之为3σ原则． (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： 若X～N(μ，σ2)，则有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974. (3)正态总体在(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率： 正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 甲、乙、丙三名应届大学毕业生参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求： (1)至少有1人面试合格的概率；(2)签约人数X的分布列和数学期望及方差D(X)． 次红球，写出随机变量的分布列，并求的均值和方差； （3）求从第一次起连续摸出白球数不小于3的概率。 例2某公司要将一批海鲜用汽车运往A城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，将多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示． 统计信息 汽车行驶路线　 不堵车的情况下到达所需时间(天) 堵车的情况下到达所需时间(天) 堵车的 概率 运费 (万元) 公路1 2 3 1.6 公路2 1 4 0.8 (1)记汽车走公路1时公司获得的毛利润为ξ(万元)，求ξ的分布列和数学期望Eξ； (2)假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？ (注：毛利润＝销售收入－运费) 上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师的年龄情况如下表所示 分组(单位：岁) 频数 频率 [20,25) 5 0.050 [25,30) ① 0.200 [30,35) 35 ② [35,40) 30 0.300 [40.45) 10 0.100 合计 100 1.00 (1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并补全频率分布直方图)，再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在[30,35)岁的人数(结果取整数)； (2)． 2个标有5元，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球标的钱数之和。 （I）求的概率分布列； （II）求抽奖人获利的数学期望。