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亭湖高中高一下数学期末复习讲义七 立体几何1 一、知识清单　 一、空间几何体的画法及表面积、体积计算 立体图形和平面图形的转化是立体几何主要的考点．一方面，由几何体能够画出其平面图，如三视图、直观图等；另一方面，由三视图能够想象出几何体的形状，并能研究其表面积、体积等．斜二测画法：主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段，平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半． 、平面基本性质的应用 1．关于多点共线问题往往需证明这些点在某两个平面的交线上． 2．多线共点问题的证明往往让其他线都过某两条线的交点． 3．多点共面问题的证明往往让其他点在某三点或四点确定的平面上． 4．多线共面问题的证明往往让其他线在某两条直线确定的平面内． 设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________． P∈a，Pα?a?α；a∩b＝P，bβ?a?β；a∥b，aα，Pb，Pα?b?α；α∩β＝b，Pα，Pβ?P∈b 答案： 2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．．24π 解析　 如图所示，由V＝Sh得， S＝4，即正四棱柱底面边长为2． ∴A1O1＝，A1O＝R＝． ∴S球＝4πR2＝24π． ．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________． ．180° 解析　S底＋S侧＝3S底，2S底＝S侧， 即：2πr2＝πrl，得2r＝l． 设侧面展开图的圆心角为θ， 则＝2πr，∴θ＝180°．．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为________． ．4R．一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是______． 5．－解析　设圆柱桶的底面半径为R， 高为h，油桶直立时油面的高度为x， 则h＝πR2x， 所以＝－．等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为______． 解析　 ∵OE＝＝1，∴O′E′＝，E′F＝， ∴直观图A′B′C′D′的面积为 S′＝×(1＋3)×＝． 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2． 求证：(1)E、F、G、H四点共面； (2)GE与HF的交点在直线AC上． 证明　(1)∵BG∶GC＝DH∶HC， ∴GH∥BD，又EF∥BD，∴EF∥GH， ∴E、F、G、H四点共面． (2)∵G，H不是BC、CD的中点，∴EF≠GH． 又EF∥GH， ∴EG与FH不平行，则必相交，设交点为M． M∈面ABC且M∈面ACD M在面ABC与面ACD的交线上 M∈AC． ∴GE与HF的交点在直线AC上． 梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图(斜二测)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝2，C1D1＝3，A1D1＝1，则ABCD的面积是________． 5 解析　把图还原，ABCD为直角梯形，AB＝A1B1＝2，CD＝C1D1＝3，AD＝2A1D1＝2． ∴S梯ABCD＝＝5． 如图所示，在四边形ABCD中，DAB＝90°，ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积． 解　S表面＝S圆台底面＋S圆台侧面＋S圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2＝(4＋60)π． V＝V圆台－V圆锥＝π(r＋r1r2＋r)h－πrh′ ＝π(25＋10＋4)×4－π×4×2＝π． 沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长)，所以圆柱的侧面积S＝2πrl，其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长．现已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积； (2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解　(1)画圆锥及 内接圆柱的轴截面(如图所示)． 设所求圆柱的底面半径为r，它的侧面积S圆柱侧＝2πrx． 因为＝，所以r＝R－·x． 所以S圆柱侧＝2πRx－·x2． (2)因为S圆柱侧的表达式中x2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值． 这时圆柱的高x＝． 故当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大． ．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形