[极坐标与参数方程知识讲解.doc

参数方程和极坐标系 知识要点 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即　　 并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x0，y0），倾角为α的直线： 　　（t为参数） 其中参数t是以定点P（x0，y0）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离． 根据t的几何意义，有以下结论． ．设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则＝＝． ．线段AB的中点所对应的参数值等于． 2．中心在（x0，y0），半径等于r的圆： 　　（为参数） 3．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆： 　　　　（为参数）　　（或　） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 4．中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线： 　　　　（为参数）　　（或　） 5．顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线： 　　（t为参数，p＞0） 直线的参数方程和参数的几何意义 过定点P（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是　　（t为参数）． J3.2极坐标系 1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,＋，＋(Z)．极点的极径为0，而极角任意取．若对、的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0，0≤＜或0，＜≤等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ 5、极坐标与直角坐标互化公式： 例题（j3.1参数方程） 例1.讨论下列问题： 1、已知一条直线上两点、，以分点M（x，y）分所成的比为参数，写出参数方程。 2、直线(t为参数)的倾斜角是 A． B． C． D． 3、方程（t为非零常数，为参数）表示的曲线是 ( ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 4、已知椭圆的参数方程是（为参数），则椭圆上一点 P (，)的离心角可以是 A． B． C． D． 例2 把弹道曲线的参数方程 化成普通方程． 例3. 将下列数方程化成普通方程． ①，②，③，④，⑤． 例4. 直线3x－2y6=0，令y = tx ＋6（t为参数）．求直线的参数方程． 例5.已知圆锥曲线方程是 若t为参数，为常数，求该曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离； 若为参数，t为常数，求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。 例6. 在圆x2＋2x＋y2=0上求一点，使它到直线2x＋3y－5=0的距离最大． 例7. 在椭圆4x2＋9y2=36上求一点P，使它到直线x＋2y＋18=0的距离最短（或最长）． 例8.已知直线；l：与双曲线（y-2）2-x2=1相交于A、B两点，P点坐标P(-1，2)。求： （1）|PA|.|PB|的值； （2）弦长|AB|; 弦AB中点M与点P的距离。 例9.已知A（2,0）,点B,C在圆x2+y2=4上移动，且有 求重心G的轨迹方程。 例10.已知椭圆和圆x2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P1,在圆上求一点 P2,使|P1P2|达到最大值，并求出此最大值。 例11.已知直线l过定点P(-2,0),与抛物线C: x2+ y-8=0相交于A、B两点。（1）若P为线段AB的中点，求直线l的方程