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梯形与重心知识点六：四边形的分类知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心三、规律方法指导 类别 定义 性质 判定 面积公式 梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形 中位线平行于两底且等于两底和的一半 根据定义判定 两底之和与高的乘积的一半或中位线与高的乘积 等腰梯形 两腰相等的梯形 1. 两腰相等；2. 同一底上的两角　 相等；3. 两条对角线相等4. 等腰梯形是轴对　 称图形 1. 根据定义判定；2. 同底两角相等的梯形。 直角梯形 一腰垂直于底的梯形 具有梯形的一切性质 根据定义判定 　　2．梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 　 方法 作法 图形 目的 平移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 类型一：梯形中的辅助线1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于，它的两底分别是和，求它的腰长　　思路点拨：已知：如图，在梯形ABCD中，，，.　　　　　　　 求：AB的长. 　　解析：过点A作交BC于E，　　　　　∵四边形ABCD是等腰梯形，　　　　　∴AD∥BC　　　　　又∵，　　　　　∴四边形AECD是平行四边形. 　　　　　∴　　　　　∵　　　　　∴ 　　　　　∵　　　　　∴是等边三角形. 　　　　　又∵，　　　　　∴　　　　　∴ 　　总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时，无论是平移一腰还是平移一条对角线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决；　　举一反三：　　【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________　　【答案】梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥BC．设AD=x，BC=y，DB=z，　　　　　　 由题得：x+y+z=16，　　　　　　 ，（熟记梯形面积公式）　　　　　　 解得x+y=8，z=8，　　　　　　 过D作DE∥AC交BC的延长线于E．　　　　　　 ∴四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）　　　　　　 ∴DE=AC，AD=CE．（将“上底+下底”转化到一条线段上）　　　　　　 在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，　　　　　　 根据勾股定理得，　　　　　　 ∵AC=DE，　　　　　　 ．　　【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE．　　【答案】分析：这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的．　　证明：如图，连结AC，过C作CF⊥AB于F．　　　　　在△CFB和△AEB中，　　（这是直角梯形中常见的辅助线）　　　　　　　　　　∴△CFB≌△AEB（AAS）　　　　　∴CF=AE．　　　　　∵∠D=90°，CF⊥AB且AB∥CD，　　　　　∴AFCD是矩形　　　　　∴AD=CF，　　　　　∴AD=AE．　　　　　在Rt△ADC和Rt△AEC中，　　　　　　　　　　∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL）　　　　　∴CD=CE．　　【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。　　　　　　　　　　　　求证：　　【答案】如图，延长，相交于点，连结，. 　　　　　　 ∵ 　　　　　　 ∵、为、的中点，∴，　　　　　　 ∴，　　　　　　 ∵ ∴ ∴　　　　　　 ∴、、三点共线 　　　　　　 ∴　　【变式4】（过一腰中点作底边平行线——构造中位线）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线过CD的中点E．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求证：AD＋BC=AB．　　【答案】证明：过E作EF∥BC交AB于F，则EF∥BC∥AD，　　　　　　　　　∵E是CD的中点　　　　　　　　　∴EF为梯形ABCD的中位线,∠2=∠3