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梯形和重心 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 掌握梯形，等腰梯形，直角梯形的概念和等腰梯形的性质和判定，会用梯形的有关知识进行计算和证明． 会求梯形的面积． 培养化归的思想和添加辅助线的能力． 会找线段，三角形，平行四边形的重心，掌握三角形重心的性质并能加以应用． 重点： 掌握等腰梯形的性质和判定，并能不断优化推理论证． 难点： 把梯形或其它多边形的问题转化为三角形或平行四边形的问题求解，优化几何基本图形的组合； 熟练掌握梯形的常见辅助线添法． 学习策略： 经历探索梯形的有关性质、概念的过程，发展数学中的转换、化归思维方法，体会平移，轴对称的有关知识在梯形中应用。 二、学习与应用 （一）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 边 角 对角线 平行四边形 矩形 菱形 正方形 （二）平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 平行四边形 矩形 菱形 正方形 知识点一：梯形 要点诠释：一组对边平行，另一组对边 的四边形叫梯形． 知识点二：等腰梯形 要点诠释：两腰 的梯形叫等腰梯形． 知识点三：直角梯形 要点诠释：有一个角是 的梯形叫直角梯形． 知识点四：等腰梯形的性质 要点诠释： （1）等腰梯形同一个底上的两个角 ． （2）等腰梯形的两条对角线 ． 知识点五：等腰梯形的判定 要点诠释： （1）两腰 的梯形是等腰梯形． （2）同一底上两个角 的梯形是等腰梯形． 知识点六：四边形的分类 要点诠释： 知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心 要点诠释： （1）线段的 是线段的重心；三角形三条 相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；平行四边形的 是平行四边形的重心． （2）三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 倍． 类型一：梯形中的辅助线 例1．（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于，它的两底分别是和，求它的腰长． 思路点拨： 已知：如图，在梯形ABCD中，，， . 求：AB的长. 解析： 总结升华：  . 举一反三： ☆【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为 答案： ☆【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE． 答案： ☆【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点． 求证： 证明： ☆【变式4】（过一腰中点作底边平行线——构造中位线）已知梯形ABCD中，AD∥BC∠ABC的平分线过CD的中点E．　AD＋BC=AB 答案： 【变式5】如图，E是梯形ABCD中腰DC上的中点， 答案： 　． 求证： 思路点拨： 要证 ，则考虑这两个三角形中对应边、对应角的相等关系．而，且，则问题得证，本题要证对应的角相等也并不困难． 解析： 举一反三： 【变式1】如图，已知：在梯形ABCD中，，AC、BD相交于点O.? 求证：.? 答案： 　　 【变式2】如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法画出来： （1）不是正方形的菱形一个； （2）不是正方形的矩形一个； （3）梯形两个； （4）不是矩形、菱形的平行四边形一个； （5）不是梯形和平行四边形的凸四边形一个． 答案： 【变式3】如图，已知：AD是的平分线，，，. （1）求证：四边形ADCE是等腰梯形. （2）若的周长为，求四边形ADCE的周长. 答案： 说明：等腰梯形的判定，一般