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课题：椭圆与双曲线的类比 任课教师：张正丽 一、教学内容分析： 圆锥曲线是解析几何中的重要内容，它在其他学科和实际生活中也有着广泛的应用，因此让学生真正掌握圆锥曲线的相关知识成为必然要求。在圆锥曲线中，尤其是椭圆与双曲线在定义、标准方程的形式、几何性质及其研究问题的方法等方面都存在很多相似之处，椭圆的很多性质都可以类比到双曲线上。通过形式上的类比感受并解释几何图形本质上的内在联系，再通过解题方法上的类比，触类旁通，开启探索的智趣，打开学生思维的大门，逐步渗透学习数学的思想方法。根据课标和考纲的要求，为了进一步巩固曲线的定义和性质，强化用代数方法去研究曲线的性质，同时类比思想在很多章节均有涉及，因此有必要进行拓展。当然也有利于对抛物线的学习。 二、学生情况分析： 学生初步掌握了两个曲线的标准方程与性质，能够解决一些基本的概念题，但是研究曲线问题的方法还很不熟练，而且计算能力非常薄弱，缺乏探究问题的能力，严谨推理能力欠缺。这些问题需要通过各个章节的学习中，逐步解决。 三、教学目标：： 1、列表对比椭圆与双曲线的定义、标准方程等基本概念，辨析两个定义的区别与联系，提升归纳、对比、整合知识的能力； 2、学会将椭圆与双曲线的性质进行类比，掌握类比的思想方法，提高推理论证的能力，借助几何画板动画演示，将抽象问题直观化； 3、经历观察、分析、类比、猜想、论证解决数学问题的过程，形成主动合作、探究学习的习惯，激发对圆锥曲线学习的兴趣。 重点：椭圆与双曲线的类比 难点：椭圆与双曲线的类比以及论证 四、教法学法分析 1、教法：引导发现，启发探究 2、学法：问题探究法，小组讨论，鼓励学生大胆猜想，类比推理。 3、教学手段：借助几何画板，增强教学的生动性与直观性。 五、教学过程： （一）梳理基本知识： 名 称 椭圆 双曲线 定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆，即 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线，即 图 象 标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 的关 系 ，， ， 设计意图：引导学生领会椭圆和双曲线的定义与标准方程的差别仅在“和”与“差”上，抓住矛盾的两个方面，为后面将椭圆的性质类比到双曲线上作铺垫。 引入： 学习了椭圆与双曲线的定义与性质之后，我们发现，两者在定义、标准方程的形式、几何性质及其研究的方法等方面都存在很多相似之处，椭圆的很多性质都可以类比到双曲线上。事实上，我们在学习数列时，已经运用了类比的思想研究了等差与等比数列。 今天这节课就用类比的思想来研究这两种曲线的一些性质，感受两种曲线的和谐与统一。 设问：什么叫做“类比”呢？ 类比：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）。 （二）用类比思想探究椭圆、双曲线的性质 探究一： 椭圆两焦点为，点Q为 椭圆上除顶点外的任一点，过点作的一个外角平分线的垂线， 垂足为P，则点P的轨迹是圆的一部分。 （1）证明此命题为真命题。 （2）你能否类比到双曲线上，给出一个类似的命题？并证明。 设计意图：求动点轨迹的过程巩固椭圆双曲线定义的应用，由“外角平分线”类比为“内角平分线”的过程让学生充分讨论、猜想；在论证的过程中引导学生归纳总结，得出类比不是简单的生搬硬套，必须遵循两者定义的区别；动画演示，增强直观感觉，体验失败后的成功感。 探究二：已知椭圆上A、B两点关于原点对称，点是椭圆上任意一点，且点与、两点均不重合，设直线、的斜率分别为、，那么是否为定值？ （1）猜想结论，并证明。 （2）类比到双曲线中，写出一个类似的命题，并证明之。 设计意图：探究过程可以从特殊位置开始，猜出结论，再进行一般论证。 类比到双曲线时，引导学生根据两个曲线的定义差别，找出类比的规律。 再次让学生体会类比的命题是否正确需要严格论证，让学生经历从特殊到一般的探究过程以及掌握严格的论证推理方法。 总结：二次曲线，上述命题中的结论可以统一为。 即：当m,n同正且不相等时，是椭圆，无论焦点在x轴还是y轴，均成立； 当m,n异号时，是双曲线，也成立. 设计意图：归纳总结，强调正因为椭圆与双曲线有相似性，方程可以统一，命题的结论也可以统一，所以可以用类比思想来研究这两个二次曲线。 （三）课堂反馈 1、若在椭圆上，则过P的椭圆的切线方程是。 类比到双曲线上的命题：________________________________________________________. 设计意图：本节课的重点是让学生会根据两个曲线定义的差异进行命题的类比，因