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椭圆及其标准方程 ----- 向 华 教材分析 本节课前面研究了曲线与方程的对应关系，介绍了坐标法和解析几何的基本思想，以及解析几何的基本问题，即曲线的已知条件求曲线方程；通过方程研究曲线的性质。 本节研究通过求椭圆的标准方程，使学生掌握推导出这一类轨迹方程的一般规律和化简的常用的方法。 教材是以椭圆为例，详细的说明在解析几何中怎样利用方程 研究曲线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质。为今后的教学中，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高。 学生情况分析 学生通过对圆锥曲线方程的学习，初步理解求曲线的基本思想和基本步骤，但是学生的计算能力较弱，特别是两个根式的化简，给学生推导椭圆的标准方程带来一定的困难。 教学目标 1、知识与技能目标：理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。 2、过程与方法目标：通过椭圆概念的引入与椭圆方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法。 3、情感、态度和价值观目标：通过椭圆的定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生研究问题，抓住问题的本质，严谨细致思考，规范得出答案，体会运动变化，对立统一思想。 重点、难点 1.重点：感受建立曲线方程基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。 2.难点：椭圆标准方程的推导（在椭圆方程的推导过程中，用到根式化简，而这部分知识在初中没有做详细介绍） 教学方法： “创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”模式来组织教学。 教学过程 教学环节 ? 教 学 内 容 ? 师生互动 ? 设计意图 创设情境 引入新课 ??? 利用多媒体演示：九大行星的运行轨迹，神州七号的运行轨迹，椭圆的生活中的实例 通过观察多媒体课件，教师提出问题：神州七号的运行轨迹是什么？ ? 学生通过观察，回到问题。 ??? 借助多媒体生动、直观的演示，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。同时，激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，同时也认识到数学的重要性。也为后来学生与老师共同归纳概 动手实验 归纳概念 思考1：在作图过程中，有哪些物体的位置没变？有哪些量没有变？ 思考2：若调节两图钉的相对位置，所得到的图形有何变化？ 指出绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。 椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹。两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。若设M为椭圆上的任意一点，则∣MF1∣+∣MF2∣=2a ??? 教师提出问题：给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆吗？让学生自己动手画图，使其探究性学习，再提出以下问题。 ??? 以活动为载体，让学生在“做”中学数学，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验。同时，我力求改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力。 启发引导 推导方程 （1）建立直角坐标系 （2）写出动点M满足的集合 这里我启发学生根据椭圆的定义，写出动点M满足的集合，即：P＝｛M |│MF1│+│MF2│| =2a｝ 如果学生有困难，可以安排进行小组讨论交流。? (3)坐标化 引导学生在设点的基础上,将前面得到的关系式用坐标表示出来。这里学生不会有太大的困难,绝大多数学生都能得到方程: ??? (4)化简 当时，，由（1）得 整理得 ?????? （2） 由（1）+（2）得 之后，我指出：这个方程还不够简洁对称，让学生观察图形： 提出问题：“你们能从图中找出表示a、c、的线段吗？ 将方程简化为 当x=0时，得点M(0,)此时点M坐标符合上面方程。 ??? 教师提出了问题就要解决问题，怎么推导椭圆的标准方程呢？让学生运用上节课所学求曲线方程的方法---坐标法，去推导椭圆的方程 ??? 教师指导同学们分组讨论，自主探究用什么方法将根式化简？ ??? 学生会提出两种方案：一、是直接将根式平方。二、是将其中一个根式平移再平方。这时教师让学生进行小组讨论，对比、分析这两种方法的优缺点。教师引导，发现以上同学们提出的这两种方法都需要进行两次平方，只是方法二计算较方法一较简单。此时教师启发学生大胆设想，寻找方法，能不能还有其他的方法可以避免两次平方，比如分子有理化，这样做可以使化简过程更简单。 ??? 通过观察，学生容易得出结论，并理解了换元的合理性。这样不仅使方程具有了对称性，而且使字母b也有了明确的几