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椭圆的几何性质教学案例 一、教案背景 1.面向对象：高二学生 2.学科：数学 3.课题：椭圆的几何性质 4.课时：3课时 5.课前准备： （1）学生预习本节内容，了解椭圆的范围、对称性和顶点。 （2）教师准备课件。 二、教材分析 《椭圆的几何性质》是苏教版选修1-1的内容。本节课是在学生学习了椭圆的定义和标准方程的基础上，由椭圆方程出发研究椭圆的几何性质。这是学生第一次利用方程研究曲线的几何性质，要注意对研究结果的掌握，更要重视对研究方法的学习。本节课使学生感受“数”和“形”的对立统一，是研究双曲线和抛物线几何性质的基础，起着承上启下的作用。 三、教学目标 知识目标 1.通过对椭圆标准方程的讨论，让学生掌握椭圆的几何性质。 2.领会椭圆几何性质的内涵，并会运用它们解决一些简单问题。 3.通过对方程的讨论，让学生领悟解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。 能力目标 1.培养学生观察、分析、抽象、概括的能力。 2.渗透数形结合、类比等数学思想。 3.强化学生的参与意识，培养学生的合作精神。 情感目标 1.通过自主探究、交流合作，使学生体验探究的过程，从中体会学习的愉悦，激发学生的学习积极性。 2.通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育。 3.通过感受椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生良好的思维品质，激发学生对美好事物的追求。 四、教学重点与难点 重点：掌握椭圆的范围、对称性、顶点等简单几何性质。 难点：利用椭圆的标准方程探究椭圆的几何性质。 五、学法、教法与教学用具 1.学法： (1)自主探究+合作学习：教师设置问题，鼓励学生从椭圆的标准方程出发，自主探究，合作交流，发现数学规律和问题解决的途径，使学生经历知识形成的过程。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出掌握不足的内容以及存在的差距。 2.教法： 本节课采用自主探究、合作交流相结合的教学方法，运用多媒体教学手段，通过设置问题，让学生在独立思考的基础上合作交流，加强知识发生过程的教学。在思考、探索和交流的过程中得到椭圆的几何性质，充分体现学生的主体地位。 3.教学用具：电脑、多媒体。 六、授课类型 新授课 七、教学过程 （一）复习：（1）椭圆的定义（2）椭圆的标准方程（3）椭圆中三者之间的关系 （二）新授： 问题1：观察椭圆的标准方程，它有什么特点？ 生：椭圆方程是关于的二元二次方程；方程左边是平方和的形式，右边是常数1；方程中和的系数不相等。 设计意图：①为利用方程研究椭圆的几何性质做准备。②让学生感受椭圆方程结构的和谐美。 （1）椭圆的范围 问题2：自主探究：结合椭圆标准方程的特点，请大家思考，在方程中，如何确定的范围？ 生1：由可得，即，所以。同理可得。 生2：还可以把看成，利用三角函数的有界性来考虑的范围。 生3：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以， 从而。同理可得的范围。 设计意图：①由于问题1的设置，学生的思维在这儿很活跃，除了教材中的方法外，很多同学都能想到其它方法，训练了学生的发散思维。②强化学生的参与意识，培养学生分析问题、解决问题的能力。 问题3：由的范围、的范围，我们能进一步说明椭圆所处的范围吗？ 生：椭圆位于直线和所围成的矩形内。 设计意图：结合多媒体展示椭圆的范围，让学生直观感知，体现数形结合思想。 （多媒体展示）练习1：讨论下列椭圆的范围： ①； ②。 设计意图：椭圆范围的简单应用。 （2）椭圆的对称性： 问题4：自主探究：观察椭圆的标准方程，请大家利用方程研究椭圆的对称性。 生：在方程中，把换成，方程不变…… 问题5：方程不变，说明什么问题，如何用语言表述出来？ 生：当点在椭圆上，点关于轴的对称点也在椭圆上。而是曲线上任意一点，所以椭圆关于轴对称。同理可得，椭圆关于轴对称，关于原点对称。(学生鼓掌！) 设计意图：①训练学生语言表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。②从对称性的本质入手，探究椭圆的对称性。③多媒体课件展示椭圆的对称性，使学生体会椭圆的对称美。 多媒体展示椭圆的对称性后总结：对于椭圆来说，坐标轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心，对称中心也叫椭圆的中心。 （多媒体展示）练习2：探究曲线的对称性，并画出曲线的图象。 设计意图：①让学生接触不同形式的曲线，检验对曲线对称性的理解。②让学生感受利用对称性可简化作图过程，感悟知识的应用。 （3）椭圆的顶点 问题6：自主探究：观察椭圆的标准方程，请大家利用方程求出椭圆与对称轴的交点坐标。 生：令，得，说明点，是椭圆与轴的两个交点。同理，点，是椭圆与轴的两个交点。 总结并给出顶点的定义（强调是与椭圆与对称轴的交点）。结合多媒体展示的椭圆图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长