[椭圆的定义的应用.doc

椭圆的第一定义解一类最值问题 太和中学 王建廷 学习目标： 1、知识与技能： 掌握椭圆第一定义的灵活应用，常见最值问题的几何求解方法。 2、过程与方法： 通过自主学习、合作探究，进一步巩固椭圆第一定义，并能运用椭圆第一定义解决与距离相关的最值问题。体会代数法和几何法在解决数学问题时一致性和差异性。 3、情感、态度与价值观： 感悟数学定义的本质，体会转化与化归思想在解决数学问题中的作用，积累“数学地”思考问题的经验。 重点：椭圆第一定义在求最值中的应用 难点：椭圆第一定义在求最值中的灵活运用 课程分析：本课是在复习了椭圆的第一定义及其简单几何性质的基础上，学习椭圆第一定义的灵活应用，因此，第一定义的灵活应用是本讲的重点、难点。 学情分析：学生已经学习了椭圆的概念及其简单的性质，但是，学生灵活利用定义求最值问题还存在困难，有必要引导学生进行归纳总结。 教学模式：诱思探究式。 设计理念：根据诱思探究教学的学习方式设计的教学过程，教学设计应遵循“探究－研究－运用”亦即“观察－思维－迁移”的三个层次的要素，侧重学生的“思”、“探”、“究”的自主学习。教师的“诱”要在点上，在精不用多，让学生动脑思和究，动手探，自主探究，发现规律，探讨解法。整个教学过程始终贯穿“体验为红线，思维为主攻”，学生的学习目的要达到“探索得资料，研究获本质”。 一．课前自学 1.知识链接 （1）椭圆的定义：平面内到两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的集合。 （2）椭圆的标准方程：①焦点在轴上：()；②焦点在轴上：() 2.自学检测 （1）椭圆上的点到左焦点的距离为2，是中点，则＝ （2）如果椭圆的焦点坐标为，离心率为，过点作直线交椭圆于A、B两点，那么的周长为（ ） （A）24 （B）12 （C）6 （D）3 （3）求定点到椭圆上动点的最小距离。 （4）已知、两点，点在轴上，求：①最小值；②最大值 引导学生：①我们知道两点之间的连线中，线段最短，所以。显然等号可以成立，因为A、B在x轴的异侧，交点即为所求作的P点。同时发现规律：异侧和最小，同侧差最大。 ②转化思想就是我们解决问题的基本策略。我们只要将同侧的两点转化为异侧的两点，利用三角形两边之差小于第三边，问题就得以解决。 [设计意图]：（1）（2）巩固椭圆的定义；（3）（4）再现最值的两种常见求法：代数法（函数的思想）和几何法（数形结合的思想） 二、探究活动 如果将上述自学检测（4）中的轴（直线）变为曲线椭圆又该如何处理？ [探究活动一] 已知是椭圆内一点，是椭圆上一点，是右焦点，求的最值。 引导学生：通过类比自学检测（3）（4）不难发现：代数法解决本题很困难。那自然会想到几何法，易得，但等号取不到，类似地，将其中一个量进行转化，显然易于转化。 是焦半径，一般有两种转化途径：一是利用第二定义转化为到相应准线的距离与离心率的乘积（本题不行）；二是利用第一定义转化为长轴长与点的第二个焦半径的差，从而使问题迎刃而解！ 规范答题：由已知椭圆方程得：,所以,所以, 因为P在椭圆上，所以,所以,所以。 过、作直线交椭圆于、两点， 因为, 所以 当为点时，的最小值为 当为点时，的最大值为 [设计意图]：（1）通过对解题法方法（代数法和几何法）的迁移，实现了学生自主巩固知识和掌握数学思想（数形结合）的目的；（2）为学生提供充分从事数学活动的机会，实实在在地让学生去主动探求、主动发展，帮助他们在实验中自主探索、合作交流，体验“做数学”和“用数学”。 [探究活动二] 引导学生进行相似联想，得到下列思考题：（学生自主学习，教师适当引导） 1.若点在椭圆外，怎样求的最值？ 2.将“＋”变成“―”，怎样求的最值？ 3.将“椭圆”变成“双曲线” ，怎样求和的最值？ [做一做，你一定能过关]： 1.已知是椭圆外一点，是椭圆上一点，是右焦点，求的最值。 2.已知是椭圆内一点，是椭圆上一点，是右焦点，求的最值。 3.已知点。是双曲线右支上一动点，是右焦点，求的最值。 [设计意图]：引导学生进行同类通法问题的概括和提炼，同时在实践中体会由特殊到一般的数学思想（M点虽位置不同但解决发法类似）。 [探究活动三] 1.若点P在椭圆上，点为y轴上一点,怎样求的最值？（分类讨论） 2. 若点P在椭圆上，求的最值。（用函数或基本不等式） [归纳小结]：（引导学生进行概括提炼）此类题的解决方法：代数法和几何法。数学思想：函数和方程的思想、数形结合的思想和转化和化归的思想。 三、随堂评价 [夯实基础]（必做题） 1.是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，为定点，求的最值。（几何法） 2. 是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，为定点，求的最小值。（几何法） 3. 设点P是双曲线 上一点，焦点，点，