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椭圆的标准方程与几何性质 知识梳理★ 知识点一：椭圆的定义 平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}； 这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 （时为线段，无轨迹）。 知识点二：椭圆的方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中 椭圆的焦点坐标为，； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 椭圆的焦点坐标为， 3. 椭圆的一般方程：. 4. 焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数） 知识点三：椭圆　的简单几何性质 （1）对称性：椭圆：是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并 且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ，，，　　 ③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率： 我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率， 记作e（）， 是圆； e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1 （e越大），椭圆越扁； （5）焦半径公式 （1）；；； （2）最大距离，最小距离 ；；； （6）焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： （1）已知椭圆方程，焦点为，， 是 椭 圆 上一点， 最大角 （2）已知椭圆方程，焦点为，，是椭圆上一点的面积 ． ，当即为短轴端点时，的最大值为bc； （3）·的取值范围以及|PF1|· |PF2|的取值范围问题 （7）．点与椭圆的位置关系：（1）点在椭圆外； （2）点在椭圆上＝1； （3）点在椭圆内 知识点四：椭圆 与 的区别和联系 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于轴、轴和原点对称 顶点 ， ， 轴长 长轴长=，短轴长= 离心率 焦半径 ， ， 注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。 ★典型例题★ 一.椭圆定义： １．方程化简的结果是 2．若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是 3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为 二．利用标准方程确定参数 1.若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是 . （2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . （3）表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k的取值范围是 . 2.椭圆的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 , 3．椭圆的焦距为，则= 。 4．椭圆的一个焦点是，那么 。 三．待定系数法求椭圆标准方程 1．若椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为 。 2．焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为 3．焦点在轴上，，椭圆的标准方程为 4. 已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程； 变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。 四．焦点三角形 1．椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是 。 2．设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？的面积的最大值是多少？ 3．设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为 。 变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点．　若，求的面积． 五．离心率的有关问题 1.椭圆的离心率为，则 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为 3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。 5.在中，．若以为焦点的椭圆经过点，