[椭圆的标准方程及性质.doc

椭圆的标准方程 一、高考考点分析与讲解： 1．椭圆定义： 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于） 的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距． 说明：当与两个定点的距离之和等于的点的轨迹是线 段；与两个定点的距离之和小于的点的轨迹不存在． 2．根据定义推导椭圆标准方程： 取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴 设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）. 则，又设M与距离之和等于()（常数） ， ， 化简，得 ， 由定义, 令代入，得 ， 两边同除得 此即为椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程 其中 注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程 如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得 ，也是椭圆的标准方程 说明：所谓椭圆标准方程，一定指的是 焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在与这两个标准方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式类比，如中，由于，所以在轴上的“截距”更大，因而焦点在轴上(即看分母的大小)． 3．椭圆的标准方程: 标准方程 不 同 点 图 形 焦点坐标 相 同 点 定 义 平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于 常数（大于F1F2）的点的轨迹 a、b、c的关系 焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 注：①是； ②是（要区别与习惯思维下的勾股定理）； ③是定方程“型”与曲线“形”． 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10； 解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 　　　　 所以所求椭圆标准方程为． 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上一点到两焦点距离的和等于； （2）两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点； （3）焦点在轴上，，； （4）焦点在轴上，，且过点； （5）焦距为，； （6）椭圆经过两点，． 解析：（1）∵椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（）， ∵，，∴， 所以，椭圆的标准方程为． （2）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（）， 由椭圆的定义知， ， ∴，又∵，∴， 所以，椭圆的标准方程为． （3）∵，∴，① 又由代入①得， ∴，∴，又∵焦点在轴上， 所以，椭圆的标准方程为． （4）设椭圆方程为， ∴，∴， 又∵，∴， 所以，椭圆的标准方程为． （5）∵焦距为，∴， ∴，又∵，∴，， 所以，椭圆的标准方程为或． （6）设椭圆方程为（）， 由得， 所以，椭圆方程为． 点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系． 例3 已知、为椭圆的左、右焦点，过做椭圆的弦. 求证的周长是常数； 若的周长为16，、、成等差数列，求椭圆的方程. 解：（1）的周长 所以的周长为常数. （2） ， 得. 、、成等差数列，所以+=2， 得 ，，所以所求椭圆方程是. 例4 已知椭圆经过原点，且一个焦点为，其长轴长为4，求椭圆的中心的轨迹方程. 解：设椭圆的中心，已知焦点，则另一焦点 . 因为原点在椭圆上，其长轴长为4，所以. ，得中心轨迹方程为. （另解），所以 .设的中点 由三角形的中位线得 ,所以中心的轨迹是圆． 例5 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程． 分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．引导学生用其他方法来解． 解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上， 则． 二、配套练习巩固与提高： 1．椭圆的焦点坐标为 （A）(0, ±3) （B）(±3, 0) （C）(0, ±5) （D）(±4, 0) 解：选A． 2．在方程中，下列a, b, c全部正确的一项是 （A）a=100, b=64, c=36 （B）a=10, b=6, c=8 （C）a=10, b=8, c=6 （D）a=100, c=64, b=36 解：选C． 3．已知a=4, b=1，焦点在x轴上的椭圆方程是 （A） （B） （C） （D） 解：选C． 4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a=6的椭圆方程是 （A） （B） （C） （D） 解：选B． 5．若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F