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第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 习题1 设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X). 解答： 依题意，X的分布律为 X ??0 1 P 1-p p 由E(X)=∑i=1∞xipi,?有 E(X)=0?(1-p)+1?p=p. 习题2 袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.?现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望. 分析： . 解答： 设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,?且 P{Xi=m}=1n, 其中m=1,2,?,n,i=1,2,?,k,?故 E(Xi)=1n(1+2+?+n)=n+12,i=1,2,?,k, 从而 E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2. 习题3 某产品的次品率为0.1,?检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的). 解答： X的可能取值为0,1,2,3,4,?且知X～b(4,p),?其中 ??????????????p=P{调整设备} ??????????????=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639, 所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556. 习题4 据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0p1,p为已知),?在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,?保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),?若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(ba),?应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？ 解答： 令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为 X aa-b pk p1-p ∴E(X)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)0,?即aba1-p. 对于m个人，有E(mX)=mE(X)=ma-mb(1-p). 习题5 对任意随机变量X,?若E(X)存在，则E{E[E(X)]}等于ˉ. 解答： 由数学期望的性质1及E(X)为一常数知 E{E[E(X)]}=E[E(X)]=E(X). 习题6 设随机变量X的分布律为 X -202 pi? ?0.40.30.3 求E(X),E(X2),E(3X2+5). 解答： E(X)=-2×0.4+2×0.3=-0.2, E(X2)=(-2)2×0.4+22×0.3=2.8, E(3X2+5)=[3×(-2)2+5]×0.4+(3×02+5)×0.3+(3×22+5)×0.3=13.4. 习题7 设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)={kxa,0x10,其它, 其中k,a0,?又已知E(X)=0.75,?求k,a的值. 解答： \because∫-∞+∞f(x)dx=1,∫-∞+∞xf(x)dx=0.75, ∴∫01kxadx=1,∫01x?kxadx=0.75,?即 ka+1xa+1∣01=1,ka+2xa+2∣01=0.75, 即{ka+1=1ka+2=0.75, ∴k=3,a=2. 习题8 设随机变量X的概率密度为 f(x)={1-∣1-x∣,0x20,其它, 求E(X). 解答： f(x)={x,0x12-x,1≤x20,其它, E(X)=∫01x?xdx+∫12x(2-x)dx=∫01x2dx+∫12(2x-x2)dx=13+23=1. 习题9 一年之内一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为 f(x)={14e-x4,x00,x≤0, 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换. 若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. 解答： 先求出利润函数L(X). L(X)={100,X≥1-300+100=-200,X1, E(L)=100×P{X≥1}-200×P{X1} ????=100×∫1+∞14e-x4dx-200×∫0114e-x4dx ????=100×e-14+200×e-14-200≈33.64(元). 习题10 设随机变量X的概率密度为f(x)={e-x,x00,x≤0, 求：(1)Y=2X的数学期望；(2)Y=e-2X的数学期望. 解答： (1)E(Y)=E(2X)=∫-∞+∞2xf(x)dx=∫0+∞2xe-xdx=2. (2)E(e2X)=∫-∞+∞e-2xf(x)dx=∫0+∞e-3xdx=13. 习题11 设(X,Y)的分布律为 Y\X 123 ?-101 0.20.10.00.10.00.30.10.10.1 (1)求E(X),E(Y);?(2)设Z=Y/X,?求E(Z);?(3)设Z=(X-Y)2,?